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dérivée d'une norme au carré

Posté par
tralouy 27-08-09 à 12:49

quelle est la différentielle de f définie de Rn dans R par :
f(x) = (1/2)*||A.x - b||² où A € M(m,n), b € Rm et ||.|| est une norme.
En fait, ce qui me pose réellement problème c'est la dérivée de g(y) = (1/2)*||y||². Je ne suis pas d'accord avec le corrigé à un facteur 1/2 près...
Merci de votre aide.

Posté par
arffre : dérivée d'une norme au carré 27-08-09 à 13:17

Bonjour,

On peut calculer f(y+h)-f(y) et voir ce que ça donne

f(y+h)-f(y)=1/2(||y+h||^2-||y||^2) = 1/2\underbrace{(||y+h||+||y||)}_{\leq 2 ||y||+||h||}\underbrace{(||y+h||-||y||)}_{\leq||h||}

De cela on tire

f(y+h)-f(y)-||h||\times||y||\leq ||h||^2

Ainsi d(f)[y]=h\longrightarrow ||y||\times||h||

Posté par
arffre : dérivée d'une norme au carré 27-08-09 à 20:34

Alors j'ai relu mon post et je me suis rendu compte que j'ai écrit vraiment n'importe quoi...désolé

Si on écrit que la norme au carré c'est <x,x> alors il vient naturellement que
f(y+h)-f(y)=1/2(<y+h,y+h>-<y,y>)=1/2(2<h,y>+||h||^2) et ainsi df(y)=h\longrightarrow <h,y>

Encore désolé pour ma première réponse :S


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