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dériver un polynôme

Posté par
robby3 13-11-09 à 18:27

Bonsoir tout le monde,
je cherche à dériver le polynôme 5$ P(x)=\frac{1}{X(X+1)...(X+n)} \\
pour cela,je le décompose en éléments simples:

5$ P(X)=\Bigsum_{k=0}^n \frac{a_k}{X+k}

et je n'arrive pas à déterminer une formule générale pour les 5$ (a_k).

Une idée?

pour a_{0} je trouve \frac{1}{n!} mais aprés,ça coince.

Posté par
LeHiboure : dériver un polynôme 13-11-09 à 18:35

Bonjour,

Pour trouver chaque ak, multiplie P(X) par (X+k), et fais X = -k
Cela te donne :
ak = 1/(-k)(-k+1)...(-1)(1)...(-k+n)

Posté par
H_aldnoerre : dériver un polynôme 13-11-09 à 18:36

Mis à part les problèmes de définition, en écrivant \Large \ln(P(x)) = \ln\left(\Bigprod_{i=0}^n\frac{1}{x+i}\right) et en dérivant cette égalité, il me semble que l'on retrouve une belle forme pour la dérivée cherchée, et valable!

Posté par
robby3re : dériver un polynôme 13-11-09 à 18:43

Bonjour LeHibou.
oui, mais c'est pas trés "jolie"
merci quand même.

si je le réécrit,ça me donnerait pas a_k=\frac{(-1)^k}{k!(n-k)!}...
ça marche pour k=0 déjà et ça semble ne pas être loin de ta formule.

H> oué,

Citation :
Mis à part les problèmes de définition

Posté par
lolo271re : dériver un polynôme 13-11-09 à 18:46

sinon ce que propose H_al  c'est la dérivée logarithmique, bref  P'/P  ne pose pas de problème de définition

Posté par
H_aldnoerre : dériver un polynôme 13-11-09 à 18:48

Ce qui m'a perturbé c'est le fait qu'a priori on ne sait pas s'il existe un \Large a tel que \Large P(a)=0 ie \Large a est une racine de polynôme ! Après, il faut se pencher sur le polynôme en question ...

Posté par
robby3re : dériver un polynôme 13-11-09 à 19:04

ok,merci!

Posté par
LeHiboure : dériver un polynôme 13-11-09 à 19:10

Effectivement, ton ak de ton post de 18h43 semble être une bonne synthèse de mon horrible formule de 18h35. Je n'avais pas poussé l'exercice assez loin...


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