Bonjour

Est-ce que tu penses que "base d'une matrice" a un sens??

Bonjour, examen2

ker f est l'ensemble des (x,y,z) tels que    

Bonjour,  monrow  

Salut perroquet

Im(f) est le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs-colonnes de la matrice

une base de kerf={x,y,z de R^3/ x=-y,y,z=y}

alors kerf=vect(-1,1,1)  soit donc une droite vectorielle à mon sens

à verifier car ca fait bien 16a que je n'ai plus mi le nez dans le chapitre

Rebonjour,

Voici les différent énoncé et ma résolution je constate une incoérence à la fin:

A=  0  1 -1
    1  2 -1
   -1 -1 0

1)déterminer une base {u1} de E1 = Ker f

ma résolution:

ker f = A(x,,y,z)=0

soit le système d'équation:

y-z=0
x+2y-z=0
-x-y=0

x+2y-z=0
   y-z=0
    y=-x

x=x
z=-x
y=-x

base {u1} = {x(1,-1,1),x apartient à R}

{u1} = {(1,-1,1)}


énoncé:
2)en déduire que dim Imf = 2

ma résolution:
dim Ker f = 1 or rang  = dim ker f + dim Im f

dim Im f = 3-1 = 2

énoncé:
3)On pose E2 = ker(f+Id). Vérifier que dim E2 = 1 et donner une base {u2} de E2

ma résolution:

   0+1   1     -1
B= 1     2+1   -1
  -1    -1     0+1


   1     1   -1
B= 1     3   -1
  -1    -1    1

Ker(f+Id)= B(x,y,z)=0

soit le système d'équation:

x+y-z=0
x+3y-z=0
-x-y+z=0

x+y-z=0
   2y=0   (l2-l1)
    0=0   (l3+l1)

x=z
y=0
0=0

base {u2} = {x(1,0,1),y(1,0,1), x et y apartient à R}

{u2}= {(1,0,1)}

dim E2 = 1

énoncé:
4)trouver une base {u3} de E3 = ker (f-3Id)

ma résolution:

   0-3    1   -1
C=   1  2-3   -1
    -1   -1  0-3


  -3   1   -1
C= 1  -1   -1
  -1  -1   -3


ker (f-3Id) = C(x,y,z) = 0

qui donne le système déquation:

-3x+y-z=0
x-y-z=0
-x-y-3z=0

-3x+y-z=0
  -4y-2y=0   (3l2-l1)
   4y-8z=0   (3l3-l1)

-3x+y-z=0
-4y-2z=0     (3l2-l1)
  4y-8z=0     (3l3-l1)

-3x+y-z=0
-4y-2z=0
   -10z=0     (l3+l2)

x=0
y=0
z=0

base {u3} = {(-3,1,-1),(1,-1,-1),(-1,-1,-3)}

énoncé Montrer que B' = {u1,u2,u3} est une base R^3

ma résolution

{u1} = {(1,-1,1)}
{u2} = {(1,0,1)}
{u3}={(-3,1,-1),(1,-1,-1),(-1,-1,-3)}

la je distingue une erreur ce n'est pas une base R^3 ??



Je ne connais pas le bbcode du forum pour faire une meilleur mise en page j'espère que sa ne posera pas de problème pour la lecture.

Pour la question 1) :

Pour les trois premières questions, les réponses et la rédaction sont correctes, sauf pour les deux lignes suivantes

Bonjour, monrow  

Non seulement tu as répondu plus vite que moi, mais en plus, tu as trouvé des erreurs que je n'avais pas détectées (je confirme, pour examen2, que ce sont bien des erreurs.

Merci pour ces réponse et explications si rapide,

alors voici pour le théorème du rang (effectivement j'avais peut être fais une erreur à ce niveau:

dim E = dim Im f + dim Ker f

dim Im f = 3 -1 =2


pour l'erreur de la quatrième question voici ce que sa donne maintenant

-3x+y-z=0
x-y-z=0
-x-y-3z=0

-3x+y-z=0
  -2y-4y=0   (3l2+l1)
  -4y-8z=0   (3l3-l1)

-3x+y-z=0
-2y-4z=0
      0=0     (l3-2l2)

x=1/3y-1/3z
y=-2z
z=z

x=-2/3-1/3z
y=-2z
z=z

x=-z
y=-2z
z=z

ker(f-3Id) = {z(-1,2,1),z appartient à R}

base de Ker(f-3Id) = (-1,2,1)


5)
On obtient , base de B' = {(1,-1,-1),(1,0,1),(-1,-2,1)} qui appartient à R^3



Plus d'erreur?

Et encore merci pour le temps que vous me consacrez

Une petite erreur de frappe ici:

merci d'avoir souligné le faite que j'avais pas réellement démontré que s'était une base (voir pas du tout) des petites choses évidentes qui me font perdre des points à l'examen bêtement.

dont je pense qu'il sufi simplement de démontré qu'il sont linéairement indépendante

avec ce système d'équation:

x-y-z=0
  x+z=0
-x-2y+z=0

x-y-z=0
y+2z=0
  -3y=0

x=0
y=0
z=0


Voila sinon pour continuer sur cette exercice , pour le changement d'une matrice dans une autre base comme par exemple f dans la base B' comment on procède?

Non ce n'est pas la peine.

f possède 3 valeurs propres distinctes {0,-1,3} elle est donc diagonalisable. On a alors

En prenant les bases de chaque sous-espace propre et en faisant leur union on aura une base de E, c'est tout. Donc est une base de E.

Oups à la fin c'est:

On a bien sûr

comment on obtient {0,-1,3} ??

Bah tu as montré que Ker(f) , Ker(f+id) et Ker(f-3Id) ne sont pas réduits à {0} et donc 0, -1 et 3 sont des valeurs propres

c'est pas plutôt 0,1 et -3 ?

Si Ker(f-aId) est non réduit à {0}, alors a est vap (et non -a)

,

donc

     0   0  0
D=   0  -1  0
     0   0  3

     0   1   -1
P=A= 1   2   -1
    -1  -1    0


pour obtenir P^-1 je resoud se système d'équation:

   y-z=a
x+2y-z=b
-x-y  =c

x+2y-z=b
   y-z=a    inversion de ligne
-x-y  =c

x+2y-z=b
   y-z=a
   y-z=b+c    (l1+l3)


mais la je suis bloqué des lignes s'annule et sa bloque la résolution.

Bonjour, examen2

Ta matrice P est incorrecte



(Il faut mettre  les vecteurs de la base en colonne)

Bonjour,

Alors si on prend A = P D P^-1


    0   0   0
D=  0  -1   0
    0   0   3



    1   1  -1
P= -1   0  -2
   -1   1   1


calcul de P^-1:

x +y -z= a
-x    -2z= b
-x +y +z= c

x +y -z= a
   y-3z= a+b      (l2+l1)
  2y   = a+c      (l3+l1)

x+y-z=a
-3z=a + b -a/2 -c/2
y= a/2 +c/2


x= -a/2 -c/2 -a/6 -b/3 +c/6
z= -a/6 -b/3 +c/6
y= a/2 +c/2

x= -(2a)/3 -b/3 -c/3
y= a/2 +c/2
z= -a/6 -b/3 +c/6


      
        -2/3     1/2   -1/6
p^-1=   -1/3      0    -1/3
        -1/3     1/2    1/6



je fais PDP^-1   pour retrouver A:

  
                         1    1   -1
                   P=   -1    0   -2
                        -1    1    1

   0    0    0           0    0    0
D= 0   -1    0           1    0    2
   0    0    3          -3    3    3


      -2/3  1/2  -1/6    1    .    .
p^-1= -1/3   0   -1/3    .    .    .
      -1/3  1/2   1/6    .    .    .



On s'aperçois que dès le début du calcul sa ne correspond pas a la matrice A, ou se situe mon erreur?

une petite aide?  (désolé que les lignes sont pas totalement bien aligné un peu du mal à la rédaction d'une matrice sur le forum)

en plus du soucis précédent j'ai aussi une autre petite question consernant la syntaxe si on me demande une base de Kerf est que écrire :

ker(f) = {x(1,-1,1),x appartient à R} suffi pour conclure sachant que la question était Déterminer une base {u1} de E1 = Kerf?

Et un dernier petit truc, pour revenir sur une question concernant la base Imf Sachant que la matrice de f dans la base canonique B = {e1,e2,e3} est

      0  1 -1
A =   1  2 -1
     -1 -1  0

on m'a répondu