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Des qsuestions de cours (Algèbre)

Posté par
bizbiz 25-06-08 à 14:45

Salut,

J'ai des problèmes avec quelques notions de cours que je n'est pas compris, j'espère que je trouverai ici des réponses à mes question :

Donc voilà  :

C'est un exemple de cours :
Il s'agit de montrer que la matrice suivante est diagonalisable et la diagonaliser : \[\array{2&1&1\\1&2&1\\1&1&2}\]

On  commence par le polynôme caractéristique :

P(X)=(4-X)(1-X)^2 (après un calcul que j'ai compris)

Donc : Sp=\{1,4\} et m(1)=2 , m(4)=1

On a : P est scindé dans K[X].
de plus :
notons SEP(\lambda) le sous espace propre associé à \lambda :

Donc : \dim(SEP(1))=3-rg \[\array{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}\] = 3-1=2=m(1)

et m(4)=1=\dim(SEP(4))  

1)
Ma question est :  pourquoi à t-on directement sû que 1=\dim(SEP(4)) ? car quand j'utilise le théorème du rang :

\dim(SEP(4))=3-rg \[\array{-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2}\]

je ne vois pas pourquoi rg \[\array{-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2}\]=1 ?

Merci

Posté par
Tigweg Correcteurre : Des qsuestions de cours (Algèbre) 25-06-08 à 14:48

Bonjour,

justement le rang de ta matrice vaut 2 (il existe une sous-matrice d'ordre 2 inversible), donc la dimension de l'espace propre est bien 3-2 =1 .

Posté par
Camélia Correcteurre : Des qsuestions de cours (Algèbre) 25-06-08 à 14:50

Bonjour

La dimension d'un sous-espace propre est toujours inférieure à l'ordre de multiplicité de la valeur propre. Si celle-ci est simple, il n'a pas le choix, il est de dimension 1.

Coucou Greg

Posté par
Tigweg Correcteurre : Des qsuestions de cours (Algèbre) 25-06-08 à 15:00

Salut Camélia!

Posté par
bizbizre : Des qsuestions de cours (Algèbre) 25-06-08 à 15:26

Merci Camélia et tigweg !

Je continue :

Donc la matrice est diagonalisable .

Cherchons les vecteurs propres :

Soit (e_1,e_2,e_3) la base canonique .

Soit x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3=(x_1,x_2,x_3)\in K^3

x\in SEP(4)\Leftrightarrow AX=4X avec X=\[\array{x_1\\x_2\\x_3}\] (la matrice en question est noté A)

alors :

x\in SEP(4)\Leftrightarrow\{{2x_1+x_2+x_3=4x_2\\ x_1+2x_2+x_3=4x_2\\x_1+x_2+2x_3=4x_3}

\Leftrightarrow\{{2x_1-x_2-x_3=0\\ x_1-2x_2+x_3=0\\x_1+x_2-2x_3=0}

\Leftrightarrow\{{2x_1-x_2-x_3=0\\ -3x_2+3x_3=0\\3x_2-3x_3=0}

\Leftrightarrow\{{2x_1-x_2-x_3=0\\ 2x_2-x_3=0\\0=0}

\Leftrightarrow\{{2x_1-x_2=x_3\\ x_2=x_3\\0=0}

\Leftrightarrow\{{x_1=x_3\\ x_2=x_3}

\Leftrightarrow x=x_1(e_1+e_2+e_3)

Donc :
SEP(4)=Vect(e_1+e_2+e_3)

Là, j'ai rien compris !  pourquoi SEP(4) est ce vect ? et qu'est ce qu'on fera avec, on voulait au depart trouver les vecteurs propres et maintenant ca ?

Merci    

Posté par
Camélia Correcteurre : Des qsuestions de cours (Algèbre) 25-06-08 à 15:33

Tu viens de trouver que les éléments de SEP(4) sont de la forme (x,x,x). Il est naturel, mais pas obligatoire, de choisir (1,1,1) comme base de ce sous-espace.

Posté par
bizbizre : Des qsuestions de cours (Algèbre) 25-06-08 à 15:34

Vous voulez dire que (1,1,1) est un vecteur propre ? pourquoi ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Des qsuestions de cours (Algèbre) 25-06-08 à 15:36

Parceque A(1,1,1)=(4,4,4)

Posté par
bizbizre : Des qsuestions de cours (Algèbre) 25-06-08 à 15:37

et si on choisissait (2,2,2) ou (100,100,100)? ce sont aussi des vec.propres ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Des qsuestions de cours (Algèbre) 25-06-08 à 15:39

Bien sur! par définition SEP(4) est l'ensemble de tous les vecteurs propres associés à la valeur propre 4.

Posté par
bizbizre : Des qsuestions de cours (Algèbre) 25-06-08 à 15:42

Donc pour remplir la 1ère colonne de la matrice de passage, on choisit : \[\array{1\\1\\1}\]

peut-on choisir \[\array{10\\10\\10}\] ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Des qsuestions de cours (Algèbre) 25-06-08 à 15:44

Oui, on peut! mais vu qu'on sera amené à l'inverser, on n'a pas trop intérêt à compliquer. En revanche il y a des cas ou (-1,-1,-1) peut être intéressant.

Posté par
bizbizre : Des qsuestions de cours (Algèbre) 25-06-08 à 15:46

Ok , merci bcp :

Je continue :

x\in SEP(1)\Leftrightarrow x_1+x_2+x_3=0

Donc : SEP(1)=Vect(e_1-e_3,e_2-e_3) pourquoi ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Des qsuestions de cours (Algèbre) 25-06-08 à 15:57

Cette fois c'est de dimension 2. Les éléments sont de la forme

\(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ -x_1-x_2\end{array}\)=x_1\(\begin{array}{r}1\\ 0\\ -1\end{array}\)+x_2\(\begin{array}{r}0\\ 1\\ -1\end{array}\)

donc les vecteurs e1-e3 et e2-e3 forment une base.

Cette base n'est pas unique! J'aurais pu exprimer x1 en fonction de x2 et x3.


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