Bonjour
si tu as défini le déterminant dans une base C(u_1,u_2,...u_n) comme l'unique forme n-linéaire alternée f telle f((u_1,u_2,...u_n)=1, tu as sa, si B est une base (e_1,e_2,...,e_n) : pour tout (x_1,x_2,...,x_n) de R^n : f(x_1,x_2,...,x_n) = dét_B(x_1,x_2,...,x_n)f(e_1,e_2,...,e_n)

gloops, j'ai appuyé la touche tab au lieu du a !
je recommence, en évitant les copié collé inachevés


si tu as défini le déterminant dans une base comme l'unique forme n-linéaire alternée f telle , tu as sans doute vu que toute forme n-linéaire alternée f vérifie, si est une base de , pour tout de :

tu appliques ça à f = déterminant dans la base : : le déterminant d'une base dans une autre ne peut pas être nul.

ohh lala c'est super compliqué... je viens de commencer les determinants et
voila ou j'en suis..
j'ai vu ce que c'etait qu'une forme n-lineaire
ainsi qu'une forme n-lineaire antisymetrique (ou alterné je crois que c'est pareil..)
on note A_n(Kⁿ) l'ensemble des formes n-lineaire antisymetrique definies sur (Kⁿ)ⁿ

ensuite j'ai vu 3 propositions qui sont les suivante..

- soit f A_n(Kⁿ). Si 2 element de la suite c1,...,cn sont egaux, f(c1,...,cn) = 0 (ca c'est OK la demo est assez trivial..)

-L'ensemble A_n(Kⁿ) est un K - espace vectoriel de dimension 1 ( le K-espace vectoriel cest OK mais la dimension c'est un peu plus flou)

-l'application (c1,...,cn) det(c1,...,cn) est la seule forme n-lineaire antisymetrique qui vaut 1 sur la base canonique de Kⁿ (pareil un peu flou..)

ensuite j'ai attaquer la proposition la famille (c1,...,cn) est une base de K^n ssi det(c1,...,cn) 0...

voila ou jen suis au niveau du cours..
peut tu m'eclaircir la ou c'est flou

pour la preuve de la dimension par exemple sur mon cours

on pose f A_n(Kⁿ) , et (e₁,....,e_n) la base canonique de Kⁿ.
Si est une permutation des indices {1,2,...,n} , on a f(e₍₁₎,...,e_(n)) = ().f(e₁,....,e_n), ou () est le nombre de permutations de deux indice seulement qui permettent d'ecrire  ..

deja pour moi ici il y a une erreur ne serait ce pas plutot :

f(e₍₁₎,...,e_(n)) = (-1)⁽⁾.f(e₁,....,e_n) ?!

en utilisant la première propriété et le caractère n-linéaire alterné, on montre que pour tout x_1,x_2...x_n, , f(x_1,x_2,...,x_n) = qqch fois f(e_1,e_2,...,e_n) : dès qu'on connait l'image de la base, on connait entièrement f. ça explique la dimension 1 : f est entièrement déterminée par un nombre, l'image de la base. il y a autant de formes n-linéaires que de réels à associer à la base

ce que tu présentes comme dernière propriété est en fait la définition du déterminant : le déterminant, c'est de toutes ces formes n-linéaires, la seule qui associe 1 à la base.

on peut faire ensemble la demo?

si tu n'es pas trop pressé : je vais devoir quitter l'île, et je risque de ne guère avoir le temps d'y revenir avant ce week end ....
pour le (-1) puissance : tu as raison.

ouch ben disons que je suis pas en avance bah on fait ce quon peut..

ensuite dan le cours on en deduit en utilisant la n-linearite de f et en ecrivant c_j = (entre i=1 et n) a_i,j.e_i, que :

f(c1,...,cn) = a_(i),1...a_(i),n.f(e₍₁₎,...,e_(n)) = f(e1,...en) a_(i),1...a_(i),n.()

la je ne comprend pas trop ces egalités..

ok je vien de terminer la demo en fait il y a encore une erreur dans le message precedent...

je reprend donc...

on a montrer que pour f A_n(Kⁿ) et (e1,...,en) la base canonique de Kⁿ, on a : pour une permutation de {1,...,n}

f(e₍₁₎,...,e_(n)) = (-1)⁽⁾f(e1,...,en), ou () est le nombre de permutation de deux indices seulement qui permettent d'ecrire .

pour c₁, ... , c_n Kⁿ, on trouve que :

f(c₁,...,c_n) = (de toute les permutations possible) a_(1),1a_(2),2....a_(n),nf(e₍₁₎,....,e_(n))

= (de toute les permutations possible) a_(1),1a_(2),2....a_(n),n(-1)⁽⁾f(e1,...,en)

= f(e1,...,en)(de toute les permutations possible) a_(1),1a_(2),2....a_(n),n(-1)⁽⁾

je retrouve donc ce que tu as dit soit :

tu peux établir une bijection entre les formes n linéaires alternées et IR : à f tu associes f(la base) ....

ok je vais reprendre tranquillou ca demain merci pour ton aide