Bonjour,
J'ai un problème avec un exercice concernant les déterminants, et particulièrement le déterminant d'un endomorphisme de Mn(R):
Soit A M3() , A = diag (1,2,1)
uL(M3()): M M3() u(M) = AM + MA. Calculer det u
J'ai donc fait le calcul avec une matrice quelconque en lui attribuant des lettres à chaque coeffs et j'ai obtenu ceci:
La matrice est donc symétrique. Je pensais rapporter la matrice de u à une base simple comme en utilisant le fait que Sn et An sont supplémentaires dans Mn mais je ne vois pas comment faire pour cette matrice et surtout je ne sais pas si cela est bon ou non, en gros je suis vraiment perdu .
Je tiens à préciser que je n'ai jamais vu la réduction d'endomorphisme et que cette exercice peut apparemment se traiter sans.
Merci d'avance ^^
Bonsoir,
Merci pour l'aide!
J'ai donc trouvé un déterminant de taille 9*9 mais qui est diagonale, en la notant U, on a:
U = diag(2,3,2,3,4,3,2,3,2) et donc detU = 5184
Es ce que c'est bon?
Merci d'avance.
Non, encore une fois tu es allé trop vite, comme pour ton affirmation "La matrice est donc symétrique."
C'est faux.
Écrits correctement la matrice de l'application linéaire : .
Ca donne quoi ?
Excuse moi Narhm mais en fait je ne vois pas comment écrire autrement la matrice de l'application linéaire...
Se sont les images des vecteurs de la base de M3(), mais ces vecteurs n'ont qu'une coordonnée non nul et cela devrait donc former une diagonale?
Juste je viens de réaliser quelque chose et je viens de comprendre pourquoi tu me disais que la matrice n'est pas diagonale et que je ne comprenais pas pourquoi, tu as écris:
Mais l'endomorphisme garde "l'ordre" de a, b ,c ... h, i dans les matrices.
Donc l'application ne serait elle pas?
Car sinon je ne comprends pas désole Narhm.
Mes coeffs pour les matrices sont pas très logiques désole mais c'est une erreur de Latex ^^'.
Ok, je vois.
Revenons alors au commencement : je considère la base Eij de M3(R).
Avec ton calcul, tu vois que etc...
Maintenant si tu réécrits la base canonique avec un seul indice sous la forme tu auras : ok ?
Je te laisse alors le soin de finir tous ces petits calculs afin de dresser la matrice de u dans cette base et voir qu'il s'agit bien de application .
Vraiment désole, tu dois vraiment me prendre pour un débile mais je trouve pas comme toi:
ok
Mais pour le reste je trouve:
=
De même:
J'ai vérifié avec un logiciel de calcul formel pour être sur, donc je ne comprends pas trop trop, vraiment désole...
Oh mille excuses, je n'avais pas vu que .
Généralement, pour une matrice quelconque on prend la transposée de celle ci c'est pour ça...
Bref, donc tout est bon, la matrice de u dans la base (e1,e2,...,e9) est bien diagonale et son déterminant est bien 5184.
En fait si, comme je le pensais, au lieu de M on avait pris la transposée de M, le résultat aurait été -5184 (tu peux le vérifier pour t'amuser).
Ok pas de problèmes, en tout cas merci beaucoup! Et oui je vais regarder ça =).
Encore merci et bonne journée !
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