Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Déterminant d'une matrice de rang n

Posté par
Skops 17-05-08 à 21:54

Bonjour,

On a 4$\fbox{Det_B(x_1,...,x_n)=\bigsum_{\sigma\in S_n}\epsilon(\sigma)_{\alpha_1,\sigma_1}... _{\alpha_n,\sigma_n}

Est ce que vous pourriez m'expliquer la formule s'il vous plait ?

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Déterminant d'une matrice de rang n 17-05-08 à 23:01

Salut !

D'abord c'est: 3$\rm\fbox{\det_B(x_1,...,x_n)=\bigsum_{\sigma\in%20S_n}\epsilon(\sigma)a_{1,\sigma(1)}...a_{n,\sigma(n)}=\bigsum_{\sigma\in%20S_n}\epsilon(\sigma)\Bigprod_{k=1}^na_{\sigma(k),k}

Bonne question ! mais c'est très dur à expliquer, et puis t'es pas sensé savoir le démontrer !

D'abord, qu'est ce le déterminant? C'est la seule forme n-linéaire qui donne 1 comme image pour la base.

On définit une application multilinéaire: 3$\rm g:E^n\to\mathbb{K}\\(x_1,...,x_n)\to\bigsum_{\sigma\in%20S_n}\epsilon(\sigma)\Bigprod_{k=1}^na_{\sigma(k),k} \\
Considérons une forme n-linéaire alternée f.

soit de plus n éléments (x_1,x_2,...,x_n) de coordonnés chacun dans B (a_{1k},...a_{nk})

On a: 3$\rm f(x_1,x_2,...,x_n)=f(\Bigsum_{j_1=1}^na_{j_11}e_j,\Bigsum_{j_2=1}^na_{j_22}e_j,...,\Bigsum_{j_n=1}^na_{j_nn}e_n)

On utilise la n-linéarité de f : f(x_1,x_2,...,x_n)=\Bigsum_{(j_1,j_2,...,j_n)\in|[1,n]|^n}a_{j_11}a_{j_22}e_j,...,a_{j_nn}f(e_1,...,e_n)

On sait bien que si une famille (b_1,b_2,...,b_n) est liée alors la forme n-linéaire est nulle !

Alors on doit éliminer tous les termes nuls dans cette somme, on doit laisser juste les couples 3$(j_1,...,j_n)\in|[1,n]|^n dont les éléments sont distincts, et donc considérer juste les permutations de S_n.

Ainsi:f(x_1,x_2,...,x_n)=\Bigsum_{(j_1,j_2,...,j_n)\in|[1,n]|^n}a_{j_11}a_{j_22}e_j,...,a_{j_nn}f(e_1,...,e_n)=\Bigsum_{\sigma\in S_n}a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}e_j,...,a_{\sigma(n)n}f(e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)})

Or, f multilinéaire alternée => 3$\rm f(e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)})=\epsilon(\sigma)f(e_1,...,e_n)

donc: f(x_1,x_2,...,x_n)==\Bigsum_{\sigma\in S_n}a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}e_j,...,a_{\sigma(n)n}\epsilon(\sigma)f(e_1,...,e_n)

d'où : f(x_1,x_2,...,x_n)==f(B)\Bigsum_{\sigma\in S_n}\epsilon(\sigma)a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}e_j,...,a_{\sigma(n)n}=f(B)g(x_1,...,x_n)

Ainsi \Large{g(B)=1}

Ainsi l'application g est le déterminant lui même !

3$\rm\red\fbox{\det_B(x_1,...,x_n)=\bigsum_{\sigma\in%20S_n}\epsilon(\sigma)a_{1,\sigma(1)}...a_{n,\sigma(n)}=\bigsum_{\sigma\in%20S_n}\epsilon(\sigma)\Bigprod_{k=1}^na_{\sigma(k),k}


Voili voilou !

Posté par
ottore : Déterminant d'une matrice de rang n 17-05-08 à 23:09

C'est la seule forme n-linéaire qui donne 1 comme image pour la base
Sans autre condition il en existe plus qu'une ...

Il faut aussi demander qu'elle soit alternée, d'ailleurs c'est surtout ça qui nous intéresse ...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Déterminant d'une matrice de rang n 17-05-08 à 23:12

Salut !

tout à fait ! juste un petit oubli !

C'est la seule forme n-linéaire alternée qui donne 1 comme image pour la base

Posté par
Skopsre : Déterminant d'une matrice de rang n 17-05-08 à 23:14

Bon, à 23h, ca va pas le faire

Questions :

- Qu'est ce que Sn ?
- Qu'est ce que 4$\sigma(n) ?
- Une forme alternée ?

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Déterminant d'une matrice de rang n 17-05-08 à 23:17

ah ! je pensais que tu savais ça ! alors là, y a tout un chapitre:

Groupe symétrique 3$\rm S_n:
Permutation 3$\rm\sigma:
Forme n-linéaire
Forme n-linéaire alternée

Posté par
Skopsre : Déterminant d'une matrice de rang n 17-05-08 à 23:21

Suis en PCSI

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Déterminant d'une matrice de rang n 17-05-08 à 23:22

bof, si t'es curieux, alors ça te fera du bien ! (c'est le sujet d'X 2009 PC )

Posté par
Skopsre : Déterminant d'une matrice de rang n 17-05-08 à 23:31

Trop facile pour l'X ca

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Déterminant d'une matrice de rang n 17-05-08 à 23:34

oui, mais ça peut servir pour gagner 1/2 point quand même !

Posté par
infophilere : Déterminant d'une matrice de rang n 18-05-08 à 10:24

Joli

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Déterminant d'une matrice de rang n 18-05-08 à 11:15

meurci vieux

Posté par
gui_toure : Déterminant d'une matrice de rang n 18-05-08 à 11:20

Joli !


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !