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determinant de matrice
Bonsoir à tous,
Determiner la matrice X une matrice carrée telle que, quelle que soit A, une latrice carrée aussi, det (A+X) = det(A)+ det(X)
quelqu'un peut il m'aider? ca fait deux heures quee je bloque dessus
Bonjour, laura-rita
On suppose que la taille n de la matrice est supérieure ou égale à 2 (le cas n=1 étant évident).
Soit X une matrice vérifiant les conditions de l'énoncé
En posant A=X det(2X)=2 det(X)
Donc 2^n det(X)= 2det X donc, X n'est pas inversible.
Supposons que X soit non nulle.
Il existe r,P,Q tel que , r étant compris entre 1 et n-1, P et Q étant inversibles.
En choisissant , A+X est inversible, A et X ne le sont pas. Il est donc impossible que det(A+X)=det(A)+det(X)
Il y a donc contradiction.
La seule matrice X qui vérifie est la matrice nulle
Bonjour,
on doit avoir en particulier, pour A=X:
det(2X) = 2det(X)
avec det(2X) = 2n det(X).
J'imagine que n>1, d'où det(X)=0.
La condition s'écrit alors:
pour tout A, det(A+X) = det(A)
En notant A1,...An les colonnes de A et X1,...Xn celles de X, on a en choisissant A1=0 , en faisant varier les autres colonnes Ai, et en appelant A'i la colonne Ai+Xi pour
Pour toute famille (A'2,...,A'n) de n-1 vecteurs,
det(X1,A'2,A'3,...A'n) = det (A1,A'2,A'3,...A'n)=det(0,A'2,A'3,...A'n)=0.
Cela signifie que la première colonne X1 de X est liée avec toute famille de n-1 vecteurs, donc que X1 est nulle.
De même, on montrerait que chaque colonne de X est nulle, donc la seule solution est X=0.
(conditionnel )
->Bravo, tu progresses Kévin!
Un peu de bouteille et tout cela te semblera plus naturel!
Pardon, petite erreur, je reprends:
det(X1,A'2,A'3,...A'n) = det (A1,A2,A3,...An)=det(0,A2,A3,...An)=0.
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