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Déterminant de matrice
Bonjour tout le monde. Actuellement en Fac de maths je révise un chapitre ou on parle de vecteur, de matrice et de déterminant et je rencontre des problèmes justement pour calculer le déterminant d'une matrice.
Alors, j'ai pris une matrice et j'ai essayé de déterminer le déterminant en appliquant les formules et méthodes du cours. Le problème c'est que j'ai 3 méthodes... et j'obtiens 3 déterminants différents.
Voila la matrice M:
| 1 | 1 | 5 |
| 2 | 4 | -1 |
| 3 | 7 | -3 |
Méthode 1:
Par la méthode du pivot de Gauss j'arrive à la matrice suivante:
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
dont le déterminant vaut 1.
Méthode 2:
Formule des matrices triangulaires:
avec la pivot de Gauss à l'avant derniere étape j'arrive à la matrice suivante:
| 1 | 0 | 21/2 |
| 0 | 1 | -11/2 |
| 0 | 0 | 4 |
donc d'après la formule le déterminant devrait etre 1
14 donc Det(M) = 4 
1 (Cf. méthode 1)
Méthode 3:
Formule du développement par rapport à une colonne.
On arrive à: Det (M) = 5Det(2 4) + Det(1 1) -3Det(1 1)
............................3 7........3 7........2 4
Det(M) = 5(2
4-34) + (7-3) - 3(4-2)
Det(M) = 5(14-12) + 4 -3(2)
Det(M) = 10 + 4 - 6
Det(M) = 14-6
Det(M) = 8
Conclusion:
3 méthodes = 3 Det différents = problème.
Je pense (certainement à tort mais bon) que le det ne peut prendre que 2 valeurs 1 et 0. Et que si det
0 alors il est égale à 1. Autrement dit, 8 = 1 = 4 = 3333 = 45987 d'un point de vue du déterminant. C'est stupide comme pensée mais je n'ai pas vraiment fait de cours là-dessus. En fait le prof nous a donné un poly (d'un autre prof) et on doit l'étudier mais en cours on ne fait pas grand chose. Le pire c'est que quand on pose des questions au prof il nous renvoie sur internet et nous dit de chercher sur google... Bref, je" veux pas casser les profs ou la fac mais j'attend pas ça d'un prof.
Voila je vous remerci d'avance pour vos réponses. Et désolé pour mes matrices qui ne sont pas terriblement bien faite.
Bonjour
Ton déterminant vaut 8. (Tu l'as trouvé au moins par une des méthodes...) Ensuite, je n'ai rien compris! Un déterminant peut prendre n'importe quelle valeur!
Bonsoir.
Le pivot me donne :
1 1 5
0 2 -11
0 0 4
Le déterminant vaut bien 8
Je l'ai calculé par la méthode (une quatrième !!!) dite méthode de Sarrus et je trouve également 8.
moi aussi par Sarrus, mais ne compliquons pas les choses...Bonsoir Camélia
Effectivement, un déterminant peut prendre toute valeur x donnée à l'avance :
x 0 0
0 1 0
0 0 1
je" veux pas casser les profs ou la fac mais j'attend pas ça d'un prof.
Vous êtes combien dans l'amphi ?
Tu sais la fac est faite pour prendre son autonomie. Celui qui se contente du cours en amphi est perdu d'avance. Tu as la chance d'avoir internet. Avant, il fallait se précipiter à la bibliothèque pour comprendre et approfondir les polycops.
Merci d'avoir répondu si vite.
Mais Raymond si tu continue la méthode de Gauss tu arrives à la matrice suivante:
1 0 21/2
0 1 -11/2
0 0 4
Et là le det vaut 4. Ou meme en continuant encore on obtient 1.
Camélia quand je dis je pense que le det ne peut prendre que deux valeurs (déjà je pense je dis certainement une grosse bétise) ce que je veux dire c'est que: Det(M) = 1 = 4 = 8 c'ets la même chose. A chaque fois qu'on a un Det 0 on peut alors dire qu'il vaut 1.
Attention à tes transformations de Gauss sur le calcul du déterminant.
Tu as simplement le droit d'ajouter à une ligne (ou une colonne) une combinaison linéaire des autres lignes (colonnes).
Si tu divises une ligne (colonne) par 4, le déterminant est divisé par 4.
merci encore mais attention comme j'ai dit je ne casse pas les profs. La fac je sais c'est de l'autonomie et ça va j'en ai (en tout cas je pense). De plus, j'aime bien le prof en question donc je ne remet pas du tout en cause les méthodes universitaires.
Bon alors que je dise finalement que Det(M)= 1 ou 4 ou 8 ça revient au meme finalement ?
Raymond moi dans mon cours il montre qu'il divise pour avoir ques des coeeficient 1 dans la matrice de la méthode de Gauss et il ne parle pas du det qui change. Il dit que le Det est 1.
(j'ai l'impression de ne rien comprendre)
Il faut comprendre deux utilisations du déterminant :
1°) sa nullité ou non pour voir si l'on a indépendance des colonnes ou non, pour savoir si le système a une solution ou non ...
2°) son calcul effectif. Ce dernier sert en particulier à calculer les solutions d'un système.
Dans mon cours j'ai ça:
a11 a12 a13
Det( 0 a22 a23 ) = a11a22a33
0 0 a33
Et moi j'ai ça en faisant la méthode de Gauss:
1 x y
0 1 y'
0 0 4
on est bien dans la configuration de la formule donc mon det est 4.
d'après ce que dis Raymond comme à la 2eme ligne de la méthode de Gauss j'ai divisé par 2 (pour avoir x y z -> x/2 1 z/2) alors je dois multiplier le det que j'ai trouvé par 2 pour avoir le bon determinant (ce qui ferait bien 8). c'est ça ?
Et si je continue la tech de Gauss j'obtiens det = 1 mais comme je divise par 2 puis 4 je dois multiplier par 24 = 8
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