Salut !

Y a une démo ici par exemple :

Merci, mais dans la première démo, il est écrit " par récurrence immédiate"... pour eux peut-être, mais pas pour moi... comme je l'ai déjà dit plus haut...

ok

alors explique ce qui te bloque vraiment dans la récurrence

Soit pour tout n supérieur ou égal à 2 la proposition :

P_n:"D(x₁,...,x_n)=(x₂-x₁)...(x_nx₁)*D(x₁,...,x_n-1)"

(j'ai pris D(x₁,...,x_n)= déterminant de la matrice de Vandermonde)

Initialisation : n=2. trivial
Hérédité : supposons la proposition vraie au rang n-1, montrons la au rang n....

Et là, je ne vois pas d'où partir en fait.

Déjà, faut-il supposer la proposition vraie au rang n-1 ou JUSQU'AU rang n-1

quitte à faire une récurrence forte, tu peux la supposer vraie jusqu'au rang n-1 mais ça ne change strictement rien à la démo

tu pars du déterminant de taille n*n, et en faisant des opérations élémentaires sur les lignes/colonnes tu essaies de faire apparaître un déterminant (n-1)*(n-1) de Vandermonde, dont tu connais la valeur par l'hypothèse de récurrence.

J'ai un problème alors, parce que si je fais :

C_n+1 <- C_n+1 - x₁*C_n
.
.
.
C₂ <- C₂ - x₁*C₁

Je peux développer par rapport à la première ligne ensuite (car il y aura un "1" en haut à gauche, puis que des zéros sur la ligne)

Donc, on vois apparaitre un déterminant qui ressemble à van der monde... mais au niveau des indices, ça coince.

Il y a pléthore de méthodes qui permettent de montrer la non-nullité de ce déterminant célèbre. Rapide , efficace et élégant : c'est la matrice de passage vers la base de vecteurs propres d'une matrice compagnon d'un polynôme unitaire. Donc non nul !