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Déterminer un isomorphisme d'espaces vectoriels
Bonjour
,
Voila je doit resoudre un probléme et je bloque sur quelque questions.
Pour ce mettre dans le bain:
On note f l'endomorphisme de E dont la matrice dans la base B=(e1,e2,e3) est
je suis dans la partie 3 question 1:
Voila la question:
On note C(f)={g
L(E)|f°g=f°g} et C(D)={MM3(R)|DM=MD}
On rapelle que C(f) est un sous-espace vectoriel et un sous anneau de L(E) et que C(D) est un sous-espace vectoriel et un sous anneau de M3(R).
Déterminer un isomorphisme d'espaces vectoriels et d'anneaux: 
de C(f) sur C(D).
Indication donné dans l'énoncé "utliser MatB'"
Precedement j'ai determiné que :
B'=(e'1,e'2,e'3) est une base de E et:
e'1=4e1-3e2
e'2=4e1-e3
e'3=2e1+2e2
f(e'1)=0E
f(e'2)=e'2
f(e'3)=2e'3
La matrice D de f dans la base B';
Merci de bien vouloir me repondre.
Salut
Il est clair qu'on peut construire un isomorphisme simple entre C(f) et C(A) (Le commutant de A), il suffit de prendre l'application
Il suffit donc de construire un isomorphisme de C(A) dans C(D). Pas très difficile, comment passer de A à D ?
Pour passer de A a D on fait A= + D
Si j'ai bien compris tu veux construire C(A) tel que
C(A)={BM3(R)|AB=BA}
Mais comment tu fais pour utiliser MatB' comme indiqué dans l'énoncé.
je vais essayer par ta methode pour voire ce que ca donne
Merci
Salut
Tu te compliques un peut l vie non?
Supposons que BA=Ip
On a
(AB)2=ABAB=A(BA)B=AIpB=Ab
Donc (AB) est bien la matrice d'un projecteur de rang p.
je suis d'accord que BA est de rang p mais AB ne l'est pas nécéssairement.
Il suffit donc de construire un isomorphisme de C(A) dans C(D). Pas très difficile, comment passer de A à D ?
D et A sont semblables, ainsi D=PAP-1 où P est la matrice de passage de la base B à la base B'
Un isomorphisme de C(A) vers C(D) est donc
merci Nightmare pour ton aide.
Y'a une autre question où je bloque (je pense quelle est relativement facile mais je vois pas trop commencer)
Déterminer la dimension et une base de C(D).
Si vous pouviez me donner des pistes se serait gentil merci
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