bonsoir

traduis l'énoncé...

Soit P le polynôme cherché..

P(x) est de la forme ...?... (sers toi des deux premiers renseignements)

petite remarque : si Q et R divisent P et que Q et R sont premiers entre eux, alors Q*R divise P

P(x) = ax³+bx²+cx+d ??

R = 1 ?
Q = (x-1)(x-2) ?

méthode 1 :

P(x)= comme tu as dit (4 coefficients à trouver)
P(1)=0
P(2)=0
P(i)=1
tout cela à justifier bien sûr !... ce qui fait 4 équations à 4 inconnues

méthode 2 :
(x-1) et (x-2) premiers entre eux donc le produit divise P
et P de degré 3 donc P(x)=(x-1)(x-2)(ax+b)

méthode 2-a)
P(i)=1 donnent a et b via un système 2x2

méthode 2-b)
on développe cette écriture et on fait la division par x²+1... le reste (qui est de degré 1) est en fonction de a et b... et on dit que c'est le polynôme 1

P (x) = ax³+ (-3a+b)x² + (2a-3b)x +2b
Je ne vois pas après comment on fait pour diviser par x²+1.

pose la division !

Je trouve ax-3bx+b-3a pour le reste et ax-3a+b pour le quotient.
Donc par logique ax-3bx+b-3a = 1. Mais après je suis bloquée..

deux polynômes sont égaux ssi ...?...
(là tu as l'égalité entre deux polynômes de degré 1)

2 polynômes sont égaux ssi tous leurs coefficients sont égaux. ( Je ne connaissais pas cette définition, je suis allée sur internet pour la trouver).
donc a = 1 et b = -1/3
Et donc j'ai plus qu'à remplacer les solutions que je viens de trouver dans mon équation P(x) ?
Càd, P(x) = x³ - 10/3x² +3x -2/3 ?

non, faux

écris proprement l'égalité de tes deux polynômes de degré 1

bon bah il se fait tard. J'ai encore d'autres devoirs à faire. j'ai déjà passé pas mal de temps sur cette exercice, je n'ai pas la solution et ce n'est pas faute d'avoir cherché. Je verrai bien demain la solution. Et où je me suis trompée.
En tout cas merci pour votre aide. Bonne fin de soirée !