Déjà le rang de A est 1, si tu prends x vérifiant Ax =/= 0

(x,Ax) peuvent être les 2 premières éléments de la base

Ensuite tu pourras compléter avec un élément de Ker(f) qui n'est pas combinaison linéaire de x et de Ax

Je ne comprends pas ce que tu veux dire, qu'est-ce que ce (x, Ax) ?

Bonjour.

A est la matrice de l'automorphisme, et X la matrice d'un vecteur.

Si tu as AX =/= 0 tu peux prendre comme second vecteur pour ta nouvelle base celui-ci car cela te donnera une seconde colonne remplie de 0 dans ta nouvelle matrice (f²=0), et un élément de ker(f) rempli également cette condition.

Et il faut également que pour ton vecteur x (le premier de ta nouvelle base) il est ait également:
f(x) = (0,1,0)

Ainsi en prenant comme nouvelle base ( x , f(x) , u dans kerf) en vérifiant que c'est une base, normalement ça le fait.

Bonjour
j'appelle (i,j,k) la base canonique, et (u,v,w) une base cherchée

u = i
v = f(i) = 3i+j-k (cf. preimère colonne de la matrice)
w = f(v) = 0 (car Im f contenu dans le noyau, et v = f(i) est dans Im f)

tu auras bien f(u) = f(i)= v = 0u + 1v + 0w
f(v) = 0 et f(w) = 0 puisque w = f(v) est dans Im f qui est dans Ker f

atta je dis n'importe quoi ! pas w = 0 dans une base, je suis pas bien, moi !
il faut pour w compléter v en une base de Ker f

D'accord je comprends mieux !

Merci beaucoup.

par exemple, tu vois avec les deux premières colonnes de la matrice que w = i + j est dans le noyau, et comme

u = i
w = i + j
v = 3i +j - k

est échelonnée par rapport à (i, j, k), elle est libre, donc on a bien une base