B(x) = -x³+3x²+9x-2
B'(x) = -3x²+6x+9

-3x²+6x+9=0

Delta = b²-4ac
= 6²-4(-3)9 = 144 = 12²
B'(x)= -3x²+6x+9 , pour x appartient [0;6] delta=144 admet 2 solution

3[(x-1)²-4]
=-3[(x-1)²-2²]
=-3((x-1)-2((x-1)+2)
=-3(x-3)(x+1)

B'(X) = 0
x=-3 ou (x+1)=0

x1=3 ou x2=-1

B'(x) est positif c'est a dire que (x-1)²<4
B'(x) est positif et B est croissant sur l'intervalle [0;3]
B'(x) est negatif et B est decroissante sur l'intervalle [3;6]

Ce qui donne x1 = 3 et x2= -1 comme solution . La quabtité qui optimise le benefice est 3 millers .

2a. Pour le tableau de variation

B(0) = -2     B(3)= 25   B(6)= -56

B  croît de  -2  à  25  qui passe donc  par  0  puis décroît de 25  à  -56  et repasse  par 0

b. D'apres la propriété de valeurs intermediaires l'equation B(x) = 0 admet 2 solution

0.208< infini 1 < 0.209
4.791< infini 2 < 4.792
a 10 unités pres , la plage de benefice est l'intervalle [210;480] . Pour une production comprise entre 210 milliers et 480 milliers de benefice est positif . Alors c'est juste ou pas. ?

1)
B(x) = -x³+3x²+9x-2 pour x   [0;6],

explique chaque fois ce que tu vas faire.

pour étudier les variations de B, je commence par calculer sa dérivée.
B'(x) = -3x²+6x+9

je cherche les racines de la dérivée; je résous B'(x) = 0 :

Delta = b²-4ac = 6²-4(-3)9 = 144 = 12²
B'(x) = 0 admet 2 solutions
x1 = .détaille ton calcul..=  -1  
x2 = ..détaille ton calcul. = 3

d'après la règle du signe d'un trinome, -3x²+6x+9 est du signe de "-a" entre les racines
c'est à dire positif entre -1 et 3
donc
B'(x) est positive et B est croissante sur l'intervalle [0;3]
B'(x) est négative et B est décroissante sur l'intervalle [3;6]


tableau de variation

x      0                3               6
B'(x)        +           0           -
B(x) -2   crois.    25 decrois. -56

B(x) atteint son maximum pour x = 3.
La quantité qui optimise le bénéfice est 3 milliers .


2a)
d'après le tableau de variation :

sur [0;3],  B(x) est monotone croissante, croît de  -2  à  25
d'apres le théorème de valeurs intermédiaires, l'équation B(x) = 0  a une solution unique ₁ sur cet intervalle

sur [3;6],  B(x) est monotone décroissante, décroît de 25 à -56  
d'apres le théorème de valeurs intermédiaires, l'équation B(x) = 0  a une solution unique  ₂ sur cet intervalle

l'équation  B(x) = 0 admet 2 solutions sur [0;6]

b) avec la calculatrice.
sur [0;3] :  
B(0.208) < B(1) < B(0.209)  ---- avec B(1) = 0
0.208 < 1 < 0.209

sur [3;6] :  
B(4.792) < B(2) < B(4.791) ---- avec B(2) = 0
4.791 < 2 < 4.792

à 10 unités près, les points morts de la production sont 210 et 480 unités.
la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice est donc [210;480] unités,
correspondant à un bénéfice compris entre 0 et 2500 K€

----
tu remarqueras que j'ai fait le choix de calculer les racines de la dérivée à l'aide du discriminant delta
et que j'ai supprimé ce qui concerne la forme canonique.
j'aurai aussi bien pu choisir de faire avec la forme canonique.
voir explications dans mes messages précédents

de même pour le choix de la règle du signe du trinôme : j'aurai pu choisir ta méthode, ou le tableau de signes.
il y a donc plusieurs façons de faire.

tu dois toutes les maitriser, ce sont des révisions de seconde et de 1ère.

* rectification

à 10 unités près, les points morts de la production sont 210 et 4800 unités.
la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice est donc [210;4800] unités,

3[(x-1)²-4]
=-3[(x-1)²-2²]
=-3((x-1)-2((x-1)+2)
=-3(x-3)(x+1)

B'(X) = 0
x=-3 ou (x+1)=0

x1=3 ou x2=-1  

Mais les calculs pour trouvé les racines .. elle sont fausse ?

Svp des reponses .