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Déterminer une quadrique

Posté par
robby3 03-10-09 à 17:15

Bonjour tout le monde,
voilà,je fais un problème (CCP 2007 épreuve 2) et je bute sur un truc et c'est pas la première fois,et ça m'énerve,donc je viens voir si quelqu'un peut m'expliquer le délire

on a 5$ q(x,y,z)=3x^2+2y^2+3z^2-2xz=X^t S Y

avec
5$ S=\(\array{&3&0&-1\\&0&2&0\\&-1&0&3}\)

je détermine 5$ P\in \mathbb{O}(3)et 5$ D diagonale tel que 5$ S=PDP^t

avec
5$ P=\(\array{&\sqrt{2}/2&0&\sqrt{2}/2\\&0&1&0\\&-\sqrt{2}/2&0&\sqrt{2}/2}\)
et

5$ D=\(\array{&4&0&0\\&0&2&0\\&0&0&2}\)
et je dois déterminer la nature de la quadrique:

5$ 3x^2+2y^2+3z^2-2xz=1(E)
puis en donnant une équation dans la nouvelle base,sous-entendu la base défini par les vecteurs colonnes de ma matrice 5$ P, et préciser ensuite,un vecteur qui dirige l'axe de cette quadrique.


je suis parti comme ça:

(E) 5$ \Longleftrightarrow 3(x+z)^2-8xz+2y^2-1=0 \Longleftrightarrow 3(x+z)^2-2((x+z)^2-(x-z)^2)+2y^2-1=0 \Longleftrightarrow (x+z)^2+2(x-z)^2+2y^2=1

aprés??
que dois-je faire? c'est quoi la méthode? j'ai l'impression de jouer avec les trucs sans savoir ou je vais arriver?!


je remerci toute personne susceptible de me permettre de comprendre comment déterminer ce genre d'exercice...type nature d'une quadrique...

Posté par
jandri Correcteurre : Déterminer une quadrique 03-10-09 à 17:45

Bonjour robby3,

Dans la nouvelle base l'équation de la quadrique est tout simplement:
4x'^2+2y'^2+2z'^2=1.
C'est donc un ellipsoïde de révolution d'axe 0x'.

Posté par
robby3re : Déterminer une quadrique 03-10-09 à 17:52

bonjour Jandri et tout d'abord,merci de répondre.

je le vois pas ça justement!

Citation :
Dans la nouvelle base l'équation de la quadrique

elle se lit en fait à partir de la matrice diagonale c'est ça?

comment reconnais-tu l'ellipsoide de révolution Ox' ??

Posté par
jandri Correcteurre : Déterminer une quadrique 03-10-09 à 17:58

Si tu remplaces X par PX' dans X^tSX tu obtiens X'DX'.
L'équation s'écrivant 4x'^2+2(y'^2+z'^2)=1 elle est invariante par une rotation d'axe Ox'.

Posté par
jandri Correcteurre : Déterminer une quadrique 03-10-09 à 18:00

Petite faute de latex:
^tXSX=^tX'DX' par X=PX'.

Posté par
robby3re : Déterminer une quadrique 03-10-09 à 18:06

ok, je ne vois juste pas la rotation?!

je vois pas du tout comment on "voit" immédiatement que c'est invariant par une telle rotation?

Posté par
jandri Correcteurre : Déterminer une quadrique 03-10-09 à 18:30

Dans une rotation d'axe Ox', x' est conservé ainsi que le carré de la distance d'un point à l'axe Ox' c'est-à-dire y'²+z'².

Posté par
robby3re : Déterminer une quadrique 03-10-09 à 23:12

je comprend pas:

on obtient 4x'+2y'+2z'=1
à partir de là, comment fait-on? comment voit-on "qui est conservé"? et donc comment voit-on la rotation d'axe Ox'...pourquoi pas la rotation d'axe Oy' ??

Posté par
H_aldnoerre : Déterminer une quadrique 04-10-09 à 00:31

Tu trouves donc \Large 4x'^2+2y'^2+2z'^2=1 dans la base \Large B=(e'_1,e'_2,e'_3). En posant \Large a=\frac{1}{2} \,, b=\frac{1}{\sqrt{2}} \,, c=\frac{1}{\sqrt{2}}, on trouve \Large (\frac{x'}{a})^2+(\frac{x'}{b})^2+(\frac{x'}{c})^2=1. Comme \Large b=c , l'ellipsoïde est dirigé par le premier vecteur de base, ici \Large e'_1.

Posté par
robby3re : Déterminer une quadrique 04-10-09 à 00:33

ok!
merci!

Posté par
H_aldnoerre : Déterminer une quadrique 04-10-09 à 00:35

Je t'avais dit le troisième vecteur de base, mais tout dépend comment tu les ordonnes au début quand tu construit B' !


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