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déterminer valeur propre et base de f, endomorphisme
Salut!
j'ai un exercice dont je veux voir si j'ai bien ^^'
Soit B la base canonique de R^3 et l'endomorphisme de R^3 défini par:
-1 -3 0
A=Mat(f,B,B')= -3 -1 0
3 -3 -4
1- déterminez les valeurs propres de f. L'application est-elle inversible?
2- Trouvez une base B' de vecteurs propres telle que
a 0 0
D=Mat(f,B,B')=0 a 0
0 0 b
où a et b sont des réels qu'on déterminera.
Donc pour la première question;
je fais le déterminant de P(A-X.I), je trouve -(X+4)²(X-2) si je ne me trompe pas.
ensuite donc, je remplace dans la matrice X par -4, je trouve un vecteur (0,1,1); et X=2, (-1,1,0) et (1,1,0)
(pour mes vecteurs je ne suis pas très sûr, j'ai encore des difficultés
pour X=2 j'ai x+y=0 et x-y-2z=0 ce qui me donne les vecteurs que j'ai trouvés.
il y a un moins de 'prévoir' le nombre d'équations, ou le résultat ? )
2- je trouve a=2 et b=-4
slt alors voila pour ton probleme...
Ton polynome caractéristique est bon donc pour diagonaliser ta matrice tu dois trouver 2 vecteur pour -4 et un vecteur pour 2 ( comme la multiplicité du zéro)
pour -4 tu trouve (1,1,0) et (0,0,1)
pour 2 tu trouve (1,-1,1)
voila donc apres forcément a=-4, b=2 et la base c'est la base des vecteurs propres...
u y arrives maintenant?
merci
mais je ne comprends pas comment on fait pour trouver les vecteurs:
pour -4, j'ai y-z=0
tes vecteurs, ils n'ont pas y=z
en effet, j'ai un ptit peu buggué, merci bien
donc j'ai y=x
et comme j'ai ordre de multiplicté = 2 , je dois prendre deux vecteurs, non liés
donc (1,1,0) (1,1,1) (2,2,3) etc
Tu ne prend pa 2 vecteur car l'ordre de multiplicité est 2 mais tu prends 2 vecteur car le sous espace propre que tu vien de déterminer est de dimension 2 ( en effet la seule équation est y=x donc tu peux exprimer tes vecteurs en fonction de seulement 2 parametres, x et z)
Ensuite pour choisir les 2 vecteur il suffit de les prendre libre souvent je prends les plus simples avec des 1 et des 0 donc tes 2 premiers vecteur sont bien... ok?
"Le sous espace propre que tu vien de déterminer est de dimension 2"
c'est à dire? le sous espace propre que je viens de déterminer c'est lequel? pourquoi pour -4, je n'ai qu'un seul vecteur à déterminer?
Pour -4 justement tu dois trouver deux vecteurs car tu as juste y=x donc tes vecteurs étaient au départ (x,y,z) et maintenant sont (x,x,z) tu as 2 parametres donc c'est de dimension deux. La, vu que tu étudies pour la valeur -4 tu étudies le sous espace propre pur la valeur propre -4
je commence à bien voir, je te remercie
pour la valeur 2, j'avais deux équations de plan, donc l'intersection une droite, pour ça que je cherche un seul vecteur?
Pour 2 tu trouves y=-x et z=x tu peux tout mettre en fonction d'un seul paramétre ( x par exemple 
) donc dimension et et le vecteur (1,-1,1) en colonne bien sur 
ok, merci
il me reste un dernier petit soucis.
ça concerne les coniques
quand je trouve les valeurs propres par exemple 2 et 1
l'équation de la conique devient 2X²+Y² ou X²+2Y² => je ne sais pas laquelle des deux équations il faut prendre, ou alors c'est pareil.
est ce que ma question est assez explicite 
donc l'ordre n'est pas important.
si je trouve X(X-2) X=0 X=2 comme valeurs propres
est ce que je peux conclure quelque chose déjà parce qu'une valeur = 0?
et sinon, j'essaie de trouver un vecteur aussi pour la valeur 0?
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