C'est bien ça. Elles sont semblables s'il existe une matrice de passage.

Essaye d'examiner les symétries de chacune de des matrices, la façon dont elles sont construites.
Je les réecrie de manière plus lisible :

Merci de votre aide
La symétrie c'est savoir si t(A)=A ?
Je trouve que ni l'une ni l'autre n'est symétrique.
Quant à la construction on peut peut-être écrire que  A=B+C
            0 1 3 4
tel que C= (0 0 1 3 )
            0 0 0 1
            0 0 0 0
Dsl pour l'allure de ma matrice....

Mais cela ne m'avance à rien ? Comment trouver P?

Ce que je voulais dire en parlant de symétrie, c'est que ta matrice n'a pas la tête de madame tout le monde :


Elle est structurée et sa structure possède une certaine symétrie.

Ah oui, le fait quelle soit triangulaire et que ses diagonales passent de 1 à 2 à 3 à 4 mais je suis désolée je ne vois pas du tout en quoi cela va m'aider pour chercher si elles sont semblables.Je ne compends pas ce que je dois chercher.

Tu dois chercher une matrice de passage.

Oui mais je n'arrive pas à exprimer la base de A en fonction de celle de B.
POuvez-vous me donner plus de conseil SVP. La forme des matrices ne me dis rien du tout je ne sais pas du tout comment l'utiliser.
merci

Par exemple, tu peux modifier la base de A pour arriver à B...
est OK

On prend de manière à ce que
.

Une fois choisi , on prend de manière à ce que

etc

Alors (f1,f2,f3,f4) correspond à la base de A et (e1,e2,e3,e4) correspond à la base de B ?
Mais f1=e1 c'est juste une supposition? pourquoi a-t-on le droit de l'écrire?
Et pourquoi ne pas remplacer directement les valeurs de a,b,et c?
Je suis dsl il y a vraiment un truc  pas clair dans ma tête car moi je suppose une application linéaire h telle que:

h(f1)=f1
h(f2)=2f1+f2
h(f3)=3f1+2f2+f3
h(f4)=4f1+3f2+2f3+f4

h(e1)=e1
h(e2)=e1+e2
h(e3)=e2+e3
h(e4)=e3+e4

Et je ne sais pas si je peut le relier avec ce que vous m'avez-dis. Peut-on commencer par écrire ça?
J'aimerais vraiment savoir d'où vient l'égalité f1=e1 et si ça correspond bien aux bases. MERCI BEAUCOUP

Ah oui et de quelle manière intervient la matrice....

Peut-on supposer que A est la matrice de h dans la base canonique?

Ne nous occupons pas de B, on se concentre sur A.

Peut-importe la base... tu peux supposer qu'elle est canonique ou pas. Peu importe, on l'appelle . C'est la base dans laquelle est écrite ta matrice A en tant qu'application linéaire, c'est-à-dire (ce que tu as écris) :



Ensuite on cherche à fabriquer une nouvelle base à partir de e telle que :


d'où la méthode que je t'ai proposé tout à l'heure. L'idée est de construire les dans l'ordre à partir et .

D'accord merci,alors dans votre méthode vous vous servez de Mat(f)Mat(u)=Mat(f(u)) C'est ça ?
Je comprends quand on cherche f2 tel que  Af2=f1+f2
                              f3 tel que  Af3=f2+f3
Mais je ne comprends pas pourquoi la forme recherchée est f2=ae2+bf1 (pourquoi mélanger e2 et f1?)
Et je ne comprends toujours pas pourquoi f1=e1
Car on cherche f1 tel que Af1=f1 mais ça ne veut pas dire que f1=e1 obligatoirement (enfin je bloque sur ça)
Je suis dsl de ne pas comprendre lol si je vous énerve et que vous avez autre chose à faire vous pouvez me le dire....

Ah c'est peut-être parceque h(e1)=(1,0,0,0) et h(f1)=(1,0,0,0) aussi ? A-t-on le droit d'écrire ça ? Et c'est alors pourquoi f1=e1?

Non, non, je t'aide avec plaisir. Pour ta remarque précédente, elle est juste.

C'est la forme de la matrice qui nous aide en fait à trouver une forme spéciale pour les vecteur

Nos matrices sont triangulaires, ce qui revient à dire que vérifie :

On essaye alors de modifier la matrice cran par cran. On commence par tout seul. C'est-à-dire, qu'on s'intéresse seulement à l'application linéaire .
Ensuite on s'intéresse à . C'est pourquoi on cherche comme combinaison linéaire de et ...

Oula avec les Vect je m'embrouille... Bon je relis tout là je suis perdu.

Vect ça veut dire espace engendré...

Peut-on écrire: h(f2)=(1,1,0,0)  et h(e2)=(2,1,0,0)

Donc h(f2)=(2,1,0,0)-(1,0,0,0)= h(e2)-e1=2e1+e2-e1=e1+e2  ?
Et donc f1+f2=e1+e2  
Donc e1+f2 = e1+e2
Donc f2=e2?

Attention, ce n'est pas bon !

On pose

Je te laisse continuer

Oups... j'ai pas tout bien écrit :


et on obtient

Bonjour

Parallèlement, tringlarido (!!), n'y a-t-il pas moyen de faire autrement etant donné que B est une réduite de Jordan?

Mais alors pourquoi le fait de prendre les vecteurs dans la matrice marche pour montrer qu'on a f1=e1 (on prend bien h(e1)=h(f1)=(1,0,0,0) )mais qu'après ça ne marche plus?

Et pour la suite de votre calcul c'est pour montrer que a=1/2  ?(par identification avec f2=f1+f2? dans B) Mais ensuite pour b ?

J'ai compris votre ligne de calcul mais franchement je ne vois pas pourquoi sélectionner e2 et f1 pour exprimer f2 et pas f2,f3,f4 ou e1,e3,e4. Vous m'avez expliquer que c'est par rapport aux Vect et à l'aspect triangulaire mais je ne vois pas en quoi ça explique.
je suis sur qu'il ya un petit truc que je n'ai pas compris et qui fait que ce n'est pas clair...

Mais,d'une manière générale pour f1 par exemple: On cherche f1=ae1+be2+ce3+de4

et h(f1)=ah(e1)+bh(e2)+ch(e3)+dh(e4)
        =e1(a+2b+3c+4d)+e2(b+2c+3d)+e3(c+2d)+de4

Et ensuite une identification?

Non mais en l'écrivant je me rend compte que c'est inutil pourtant j'ai l'impression que je ne suis pas loin de ce que vous expliquez...  

Après ça nous amène à un système

a=a+2b+3b+4d
b=b+2c+3d
c=c+2d
d=d
et donc  a=a
b=c=d=0
Donc f1=ae1
Est ce que ça tient la route mon raisonnement? Enfin c'est sans doute inutil mais c'est pour bien comprendre...

Et comment trouver a ensuite?

Oui mais le problème  c'est que ici on sous-entend qu'on connait déjà B mais on doit la trouver? Il faut faire comme si on la connaissait pas ?

Ah oui, si tu ne connais pas B, c'est un autre problème...

Il faut d'abord montrer que 1 est bien une valeur propre simple, si c'est bien le cas on refait ce qui est ci-dessus.

Sinon, comme le suggére jeanseb (!!), il s'agit de faire une réduction de Jordan. Mais la méthode que j'ai mise en place, n'est rien d'autre que la réduction de Jordan justement, en choissant bien la base de notre espace caractéristique. Ce n'est pas plus simple de faire une réduction de Jordan, c'est la même chose. Cependant, on peut appliquer le théorème qui dit que toute matric est semblable à une matrice de Jordan.

Ton problème est-il de déterminer la matrice de passage ou de démontrer qu'il en existe une ?

Lol je ne connait pas la matrice de Jordan donc je pense que je n'ai pas le droit d'utiliser son nom...
Sinon,oui je connait B mais puisque ma question est de savoir si A et B sont semblables je ne sais pas trop de quelles informations je dois me servir de mon énoncé.
Et donc mon problème est justement que, à mon avis il faut montrer qu'il existe une matrice de passage ou pas.Voila je ne sais pas ce que je doit vraiment démontrer je connait la défintion de 2 matrice semblables mais là je tourne en rond...
Et est-ce que le fait qu'on m'ait fait chercher leur valeur propre et dire qu'elles ne sont pas diagonalisables doit me servir ici?
merci!

Si tu construis la matrice de passage avec la méthode que je t'ai donnée (construction d'une base "de Jordan" de A) alors ça prouvera qu'elles sont semblables.

Le fait de chercher les valeurs propres aurait pu t'aider si tu n'avais pas eu les mêmes pour A et B. Car deux matrices semblables ont mêmes valeurs propres.

D'accord merci! Bon je vais réessayer alors j'espère que cette fois je vais comprendre...

J'ai lu quelques articles sur les matrices de Jordan mais ça ne m'aide pas du tout je sens que je vais abandonner...

Bonjour

N'abandonne pas !

On peut simplifier un peu la question en se ramenant à  des matrices nilpotentes.
Si l'on considère A' = A - I et B' = B - I  (I étant la matrice identité), alors
(A semblable à B) équivaut à (A' semblable à B')

En effet, si B = P^-1AP, alors B' = P^-1AP - I = P^-1AP - P^-1IP = P^-1(A - I)P = P^-1A'P
Réciproquement, si B' = P^-1A'P, alors B - I = P^-1(A - I)P = P^-1AP - I
Donc B = P^-1AP

Tout revient donc à voir si A' et B' sont semblables.

On a

et


Si A' représente l'application linéaire H dans la base e1, e2, e3, e4, la question est :
Y a-t-il une base f1, f2, f3, f4 dans laquelle H est représentée par B' ?

Or, si c'est le cas, on doit avoir
H(f1) = 0, H(f2) = f1, H(f3) = f2 et H(f4) = f3

Ou encore f3 = H(f4), f2 = H(H(f4)), f1 = H(H(H(f4)))

Il suffit de choisir f4 = e4, f3 = H(e4), f2 = H(H(e4) et f1 = H(H(H(e4))) et le tour est joué (en vérifiant qu'on a bien une base).

Cordialement
Frenicle

Bien vu, Frenicle!

Je n'avais pas pensé à ton équivalence entre les nilpotentes.

D'accord merci je vais lire

Merci j'ai compris ce que vous avez écris
                             8 12 4 0
Et donc on doit trouver P= ( 0 4 3 0 )  ?
                             0 0 2 0
                             0 0 0 1
Et donc pusique P existe alors ces matrices sont semblables ?
(Je n'ai donc pas besoin de chercher la matrice inversible de P et de vérifier si?)
Merci beaucoup de votre aide!

C'est ça.
P est clairement inversible et on a automatiquement B = P^-1AP

Cordialement
Frenicle