Bonjour,

Ca a l'air bon...
Une autre méthode est d'utiliser la formule de Taylor :
d.l = _n=0ⁿ⁼⁴f⁽ⁿ⁾()(x-)ⁿ/n!
Les dérivées de e^1+cos(x) sont en effet très faciles à calculer et à évaluer en
Et au moins, avec cette méthode-la, il n'y a pas de risque d'erreur
(sauf les erreurs de calcul, évidemment...)

En fait, tu as dû te tromper qqe part, ton premier terme doit être e^1+cos() = e^1-1 = 1...

Merci pour vos réponse !!

Je crois savoir où je me suis trompée. J'ai dit que u était égale à cos(y) - 1, et je n'ai pas enlevé le 1 dans le DL de cos(y).
Je vais tout recalculer..

Bon alors, finalement je trouve

u = - y²/2 + y⁴/24

u² = y⁴/4

Et il n'y a pas de u³ ni de u⁴ en de sous de la puissance 4
donc  je trouve e^{1 + cos(y)} = e² ( 1 - y²/2 + y⁴/6 )

Mmmm... J'ai un doute, d'abord parce que pour y = 0 tu dois trouver 1 et pas e²...
Je vais le faire "à la Taylor", et on comparera
f(x) = e^1+cos(x)
f() = e^1-1 = e⁰ = 1   (car cos() = -1)
(terme qui revient dans les dérivées suivantes)
f'(x) = -sin(x)e^1+cos(x)
f'() = 0   (car sin() = 0)
f"(x) = (-cos(x)+sin²(x))e^1+cos(x)
f"() = 1
f⁽³⁾(x) = (sin(x)+2sin(x)cos(x)+sin(x)cos(x)-sin³(x))e^1+cos(x)
f⁽³⁾(x) = (sin(x)+3sin(x)cos(x)-sin³(x))e^1+cos(x)
f⁽³⁾() = 0
f⁽⁴⁾(x) = (cos(x)+3cos²(x)-3sin²(x)-3sin²(x)cos(x)-sin²(x)-3sin²(x)cos(x)+sin⁴(x))f⁽³⁾(x)
f⁽⁴⁾() = 2
D'où le d.l à l'ordre 4 :
f(x) = 1 + (x-)²/2! + 2(x-)⁴/4!
et finalement :
f(x) = 1 + (x-)²/2 + (x-)⁴/12
J'ai vérifié avec ma Voyage 200, c'est bon, j'ai même le terme suivant, c'est (x-)⁶/720...

Ok merci beaucoup !! Mais je ne comprends pas pourquoi mon raisonnement est faux ?? Peut être que, comme y = x - , on ne peut pas poser cos(y) = u + 1, pour que u soit égale à 0 et pouvoir faire la composé avec exp.

Tu poses y = x-, donc x = y+, donc cos(x) = cos(y+) = -cos(y).
Tu dois donc faire un d.l. de e^1-cos(y) au voisinage de y = 0
Est-ce bien ce que tu fais ?

Si on veut le faire "à ta façon", alors on pose :
u(y) = 1 - cos(y)
u(0) = 0
u(y) = 1 - cos(y) = 1 - (1 - y²/2! + y⁴/4! +...)
u(y) = y²/2 - y⁴/24 +...
Et donc
u²(y) = y⁴/4 +...
ce qu'on reporte dans le d.l. de e^u au voisinage de u = 0 :
e^u = 1 + u +u²/2 +...
d'où :
d.l. = 1 + ( y²/2 - y⁴/24) + (y⁴/4)/2 +...
= 1 + y²/2 + y⁴(-1/24 + 1/8)+...
= 1 + y²/2 + y⁴/12 +...
et on repasse en x :
d.l. = 1 + (x-)²/2 + (x-)⁴/12 +...
Bonne nouvelle,  on retombe sur le même résultat !

J'ai compris pourquoi ton raisonnement était faux : tu utilises le d.l. de e^u au voisinage de u = 0, et tu remplaces ensuite u par cos(y). Or, quand y tend vers 0, cos(y) tend vers 1 et non pas 0...
Dit autrement, tu ne peux pas utiliser le d.l. de e^u au voisinage de u = 0, et remplacer ensuite u par quelque chose qui n'est pas proche de 0...

C'est bon, j'ai compris

Merci à tous pour avoir répondu aussi vite !!

Bon courage pour la suite !