Bonjour,
J'ai un devoir à rendre, et j'aimerais que quelqu'un me dise si mon raisonnement est bon. Je n'ai jamais fait encore de developpement limité en autre chose que 0. Je pense que l'idée est bonne mais je me suis peut etre trompé quelque part.
Il faut faire un DL à l'ordre 4 de exp ( 1 + cos(x) ).
Donc, j'ai posé y = x -
cos y = 1 - ( y2/ 2 ) + ( y4/ 24 ) + y4(x)
exp ( 1 + cos(y) ) = e + exp ( cos(y) ) et cos(y) = u + 1
exp(u) = 1 + u + ( u²/2 ) + ( u3/6 ) + ( u4/24 ) + u4(u)
u = 1 - ( y2/2 ) + ( y4/24 )
u2 = 1 - y2 + ( y4/3 )
u3 = 1 - ( 3y2/2 ) + ( 7y4/8 )
u4 = 1 - 2y2 + ( 5y4/3 )
exp 1 + cos(y) = e * e cos(y) = e2 * eu
A la fin, je me retrouve avec e1 + cos(x) = e2 ( 65/24 - 4y2/3 + 61y4/144 )
Il faut ensuite remplacer y par x - .
Mais pour le reste, est-ce que c'est bon ? Parce que je trouve des grands chiffres quand même à la fin, c'est louche ...
Bonjour,
Ca a l'air bon...
Une autre méthode est d'utiliser la formule de Taylor :
d.l = n=0n=4f(n)()(x-)n/n!
Les dérivées de e1+cos(x) sont en effet très faciles à calculer et à évaluer en
Et au moins, avec cette méthode-la, il n'y a pas de risque d'erreur
(sauf les erreurs de calcul, évidemment...)
Merci pour vos réponse !!
Je crois savoir où je me suis trompée. J'ai dit que u était égale à cos(y) - 1, et je n'ai pas enlevé le 1 dans le DL de cos(y).
Je vais tout recalculer..
Bon alors, finalement je trouve
u = - y2/2 + y4/24
u2 = y4/4
Et il n'y a pas de u3 ni de u4 en de sous de la puissance 4
donc je trouve e1 + cos(y) = e2 ( 1 - y2/2 + y4/6 )
Mmmm... J'ai un doute, d'abord parce que pour y = 0 tu dois trouver 1 et pas e²...
Je vais le faire "à la Taylor", et on comparera
f(x) = e1+cos(x)
f() = e1-1 = e0 = 1 (car cos() = -1)
(terme qui revient dans les dérivées suivantes)
f'(x) = -sin(x)e1+cos(x)
f'() = 0 (car sin() = 0)
f"(x) = (-cos(x)+sin²(x))e1+cos(x)
f"() = 1
f(3)(x) = (sin(x)+2sin(x)cos(x)+sin(x)cos(x)-sin3(x))e1+cos(x)
f(3)(x) = (sin(x)+3sin(x)cos(x)-sin3(x))e1+cos(x)
f(3)() = 0
f(4)(x) = (cos(x)+3cos²(x)-3sin²(x)-3sin²(x)cos(x)-sin²(x)-3sin²(x)cos(x)+sin4(x))f(3)(x)
f(4)() = 2
D'où le d.l à l'ordre 4 :
f(x) = 1 + (x-)2/2! + 2(x-)4/4!
et finalement :
f(x) = 1 + (x-)2/2 + (x-)4/12
J'ai vérifié avec ma Voyage 200, c'est bon, j'ai même le terme suivant, c'est (x-)6/720...
Ok merci beaucoup !! Mais je ne comprends pas pourquoi mon raisonnement est faux ?? Peut être que, comme y = x - , on ne peut pas poser cos(y) = u + 1, pour que u soit égale à 0 et pouvoir faire la composé avec exp.
Tu poses y = x-, donc x = y+, donc cos(x) = cos(y+) = -cos(y).
Tu dois donc faire un d.l. de e1-cos(y) au voisinage de y = 0
Est-ce bien ce que tu fais ?
Si on veut le faire "à ta façon", alors on pose :
u(y) = 1 - cos(y)
u(0) = 0
u(y) = 1 - cos(y) = 1 - (1 - y2/2! + y4/4! +...)
u(y) = y2/2 - y4/24 +...
Et donc
u2(y) = y4/4 +...
ce qu'on reporte dans le d.l. de eu au voisinage de u = 0 :
eu = 1 + u +u2/2 +...
d'où :
d.l. = 1 + ( y2/2 - y4/24) + (y4/4)/2 +...
= 1 + y2/2 + y4(-1/24 + 1/8)+...
= 1 + y2/2 + y4/12 +...
et on repasse en x :
d.l. = 1 + (x-)2/2 + (x-)4/12 +...
Bonne nouvelle, on retombe sur le même résultat !
J'ai compris pourquoi ton raisonnement était faux : tu utilises le d.l. de eu au voisinage de u = 0, et tu remplaces ensuite u par cos(y). Or, quand y tend vers 0, cos(y) tend vers 1 et non pas 0...
Dit autrement, tu ne peux pas utiliser le d.l. de eu au voisinage de u = 0, et remplacer ensuite u par quelque chose qui n'est pas proche de 0...
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