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Devoir sur la dualité

Posté par
anais67 12-11-09 à 19:18


Bonjour à tous j'aurais besoin d'un petit coup de main pour cet exercice j'ai déjà fait la première question mais je bloque pour la deuxième. Voilà l'énoncé:

Soit E un espace vectoriel sur R de dimension finie; dim E = n. On note E* le dual de E.

Soient q appartient à \mathbb N ^{*} et (f1,...,fg) appartient (E*)q et r=dim Vect(f1,...fg). Montrer que :

dim \cap  ker fi = n-r . pour  (1<i<g).

Posté par
Narhmre : Devoir sur la dualité 12-11-09 à 23:30

Bonjour,

Un petit coup main : Appelons A=Vect(f_1,...,f_g).
Comme \rm dim Vect(f_1,...,f_g)=r, il existe parmi toutes ses formes linéaires r qui sont linéairement indépendantes et qui engendrent A.
Notons les 3$ \rm \varphi_1,\cdots,\varphi_{r}, alors 3$ \rm A=Vect(\varphi_1,\cdots,\varphi_r)

Comme dim E*=n, on peut compléter la famille 3$ \rm (\varphi_1,\cdots,\varphi_r) pour former une base du dual de E.
En jouant sur la base antédual à celle que tu viens de trouver, traduit la condition 3$ x\in \Bigcap_{i=1}^g ker(f_i) en terme de coordonnées...

Saur erreurs : )

Posté par
anais67re : Devoir sur la dualité 13-11-09 à 13:05

Merci beaucoup pour cette aide j'ai compris le principe mais je ne vois pas comment exprimer x en terme de coordonées. en fait il faut que le rg soit égal à r mais je ne vois pas comment trouver ça...

Posté par
Narhmre : Devoir sur la dualité 13-11-09 à 17:13

Si tu completes la famille 3$ \rm (\varphi_1,\cdots,\varphi_r) en une base du dual et tu prends son antédual, ca te donne quoi ? Ecris x dans cette base.


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