Désolé erreur de frappe, c'est g²=f  
=²
g²=f

Comme piste de réflexion, peut on dire que si f est une homothétie, f est diagonalisable? Je crois l'avoir vu dans un bouquin mais je ne sais pas pourquoi

Bonjour, ragnax

Je suppose que toutes les valeurs propres de f sont des carrés dans K et que f est diagonalisable ....

Dans ce cas, f annule le polynôme  

Une solution de g²=f annule alors le polynôme  , polynôme qui est scindé à racines simples. Donc, toute solution g est diagonalisable et la matrice de g dans une base de vecteurs propres de f est diagonale (les éléments diagonaux étant égaux à , avec ²=).

Merci beaucoup perroquet!
Pour la question suivante, je séche également :

On suppose K=R et =-².
Mq l'equation g²=f a des solutions si et seulement si dim(E) est paire.

Ma piste :
Si dim(E) est paire, dim(E) est de la forme n²
g²=f donc g²=.Id =-².Id
donc g=i.Id
Mais comme K=R il n'y a pas de complexe donc je me retrouve bloqué ><

Attention à bien mettre toutes les hypothèses de l'énoncé.
On suppose ici que   f = - ^2 Id

Supposons que  g²=f
En passant au déterminant on obtient    (det(g))²= det f = (-1)^n ^(2n)
Il est donc nécessaire que (-1)^n soit positif, donc que n soit pair.

Réciproquement, si n est pair, en écrivant n=2p, il suffit de prendre g de matrice  
avec