Bonsoir.

1°) J étant symétrique réelle, elle est diagonalisable.

2°) On trouve aisément J² = n.J.
Ceci prouve que le polynôme p(X) = X² - nX est annulé par J
p(X) = X(X - n).
Comme J est ni nulle, ni égale à n.I, p(X) est le polynôme minimal de J.
Donc, Sp(J) = {0,n}

Salut Raymond !

Ah voilà pourquoi ! On n'a pas ces propriétés sur le cours et on n'a pas encore fait les polynômes minimaux! Sinon pourquoi une matrice symétrique réelle est toujours diagonalisable?

Merci

Salut

On peut construire en utilisant la forme quadratique associée à M, matrice symétrique réelle, une base de vecteurs propres ce qui montre que M est diagonalisable.

C'est un théorème classique de spé qui ne se démontre pas en deux lignes !

Si tu n'as pas vu le polynôme minimal :

Soit a une valeur propre, X un vecteur propre associé. Donc, JX = aX

En cherchant l'image des deux membres par J :

J²X = aJX

naX = a²X

a(n-a)X = 0

Ah ok ! Merci infiniment Raymond !

Jord>> je méditerai bien ça une fois que j'ai abordé les formes quadratiques dans 1 moi je pense ! Merci

Bonjour.

Petite question subsidiaire, histoire de
Déterminer la multiplicité algébrique de chaque valeur propre.

Le rang de J est 1, donc, 0 est valeur propre d'ordre n-1 (la diagonalisabilité entraine que la dimension de chaque sev propre est égal à la multiplicité de la valeur propre). Finalement, n est valeur propre d'ordre 1.

Arkhnor>> Toutes deux sont de multiplicité 1 non,

Sinon voilà la suite :


2) Soit la matrice dont les éléments diagonaux sont tous égaux à 1, les autres étant égaux à a.
a. Utiliser une base de formée de vecteurs propres de J pour déterminer les deux valeurs propres de .

j'ai oublié, j'ai trouvé la forme des vecteurs propres :

(1,0,....,-1) (0,1,...,-1) ... (0,...,1,-1) et il me reste une base du SEP associé à n

c'est vrai pour les multiplicités

up !

salut monrow

Indice :
Ma= aJ +(1-a)I

Salut disdromètre !

Oui mais comment utiliser cette base adaptée aux SEP :s

Pour J, un vecteur propre associé à la valeur propre n est e_n = (1,1,...,1)

effectivement, pour la valeur propre 0, on a pour vecteurs propres :

e₁ = (1,0,0,...,0,-1)
e₂ = (0,1,0,...,0,-1)
.
.
e_n-1 = (0,0,...,1,-1)

Pour M_a, calcule M_a.^te_i, 1 < i < n.

Sinon, autre méthode :

M_a = a.J - (a-1).I

Si X est vecteur propre associé à la valeur propre k pour M_a, alors :

M_a.X = k.X <=> a.J.X - (a-1).I.X = k.X <=> a.J.X = [k+a-1].X

Si a = 0, résultat évident.

Si a non nul,



Ceci signifie que X est vecteur propre pour J, donc deux possibilités :

ou

Cela donne finalement :

k = 1-a (ordre n-1) ou k = (n-1)a + 1 (ordre 1)

Tu peux essayer de calculer MaV

où V est un vecteur de J

tu monteras que V est aussi un vecteur propre Ma et tu déduiras les valeurs propres de Ma.

Re !

je termine alors

Citation :
b) En déduire que A est inversible ssi et

Citation :
On suppose qu'on a une famille normale qui vérifie pour . On travaille dans
Soit des réels tels que .
a) Montrer que

Citation :
En déduire la valeur maximale de n lorsque

Citation :
2) Etude du cas . Montrer que n=1

Citation :

3) Dans cette question on admet qu'il existe une famille solution du problème.
a- Donner la valeur de

Citation :
Montrer que est une base de

Citation :
Calculer les coordonnées de dans cette base

C'est bon j'ai trouvé ! C'est (-1,-1,-1)

Merci