Bonjour,

1) Que peut-on dire de f ?
2) Si v est un vecteur propre de f, que tire t-on de la relation fog = gof ?

f possède n valeurs propres distinctes 2 à 2 signifie qu'elle est diagonalisable, non ? Mais je ne suis pas sûre que ce soit suffisant. Ensuite, je ne vois pas quoi faire avec le fog=gof, je ne sais pas comment l'utiliser avec les valeurs propres :s

Oui, c'est bien le cas. Dire qu'on a n valeurs propres distincts implique qu'on a n vecteurs propres (pourquoi ?). Cette dernière propriété équivaut à ce que la matrice soit diagonalisable. Les valeurs propres ne jouent pas un grand intêret ici. On doit juste savoir que f est diagonalisable.

Commence par prendre un vecteur propre de f, soit v, et regarde ce que vaut fog(v) et gof(v) et ce que donne ton égalité.

Salut

On prend une valeur propre l de f, on prend un vecteur propre associé. Alors f(g(x))=l g(x).
Ainsi...
Mais les valeurs propres de f sont deux à deux distinctes, donc...

d'accord, merci beaucoup. Je vais refaire tout ça, et trouver un autre exercice assez similaire pour voir si j'ai bien compris. ( j'ai du mal à comprendre les vecteurs propres, malgré le cours et les définitions, je ne vois pas très bien ce que ça représente )

Les vecteurs propres, c'est une façon plus pratique de voir ta matrice ou ton application linéaire.

Dire que v est un vecteur propre de f veut dire que la droite (sous-espace vectoriel de dimension 1) engendré par v, D = <v> est stable par f. La restriction de f à cette droite est alors simplement une homothétie de rapport la valeur propre...

Si tu trouves ça plus compliqué, tu peux oublier. Mais c'est ce que je retiens.


Autre point de vue : on cherche à décomposer au maximum l'espace en sous-espaces stables, pour écrire la matrice avec un maximum de zéro...