Bonjour

Si on appelle (C_1,...,C_4) les colonnes de B, Tu remarques que (tu as une erreur)
, et ce qui fait une superbe base formée de vecteurs propres!

Comment sait-on que c'est une base formée de vecteurs propres ?

Tu vois bien qu'ils sont propres! et des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes (ici, 2,-1,0,3) forment une famille libre.

d'accord, merci ; ) ( et désolé d'avoir posé la question!). Pour l'espace propre, je sais que l'ensemble des vecteurs proprse associés à une valeur propre est un sous espace propre, mais du coup là je dois trouver les sous espaces ou l'espace propre ? Désolé, je ne comprends pas en fait... Pouvez vous m'expliquer?

Ben, L'espace propre associé à la valeur propre 2, est l'espace engendré par C₁, c'est à dire l'ensemble et ainsi de suite!

Je me mêle à votre conversation... Pour chaque question concernant les espaces propres, on doit calculer l'ensemble {C1|R} ? Est ce que dans ce cas là on peut calculer Ker(A- I) ?

>blanchecolombe Bien sur, en général on fait comme tu dis. Tel que l'exo est donné en parachutant B, je pense que cette caractérisation n'est probablement pas encore connue de grego. D'autre part, prendre juste les V ne marche que pour les sous-espaces propres de dimension 1, ce qui est le cas ici, puisque j'avais 4 valeurs propres distinctes. Donc ne te laisse pas impressionner par cet exo un peu bizarre, si tu connais des méthodes générales, applique-les.

d'accord ! Mais donc ici par exemple, tu dis juste que l'espace propre associé à 2 est l'ensemble {C1|R} ?

Il ne faut pas résoudre de système ? ( comme AX=2X, par exemple ? ) Je n'ai jamais fait d'exercices comme ça en fait, donc ça m'intrigue

Ok, merci beaucoup ! J'ai réussi finalement !

Juste une dernière question, je me suis aperçu que ce que j'avais trouvé pour l'espace vectoriel associé à la valeur 3 était faux. Je ne trouve jamais la même chose en faisant mon système. Quelqu'un peut-il m'aider ?

je n'y arrive pas non plus, si qqun peut nous éclairer... :s

Si, en fait a=-c, b=d=0. Du coup, E₃= Vect((1,0,-1,0)). Enfin, je crois !

Oui, bien sur c'est toujours le sous-espace engendré par la dernière colonne de B.

Cet exo est l'exemple même de la fausse bonne idée! La matrice B a été fabriquée pour vous mettre sous le nez un vecteur propre pour chaque valeur propre. Bien sur, ça ne seprésente jamais comme ça! Mais enfin, puisqu'on les donne autant dire merci et s'en servir!

On a donc un vecteur propre pour 4 valeurs propres distinctes. La théorie dit qu'ils sont linéairement indépendants, comme ils sont 4, ils forment une base. Dans un espace de dimension 4, chaque espace propre est de dimension 1! C'est pourquoi sans aucun calcul, je vous ai dit que chaque colonne de B engendre un sous-espace propre!