Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Diagonalisation
Bonjour,
voilà je ne comprend pas ce que je trouve dans cette exercice, si vous pouviez m'indiquer mon erreur.
a+1 1-a a-1
Ma=-1 3 2a-3
a-2 2-a 3a-2
PMa(X)=(x-2)(x-2a)²
je doit vérifié si la matrice est diagonalisable pour a=1,a=2 et a
{1,2}
bon pour a=2 la matrice est diagonalisable et pour a=1 elle ne l'est pas.(je ne démontre pas, mon problème n'est pas là)
maintenant je cherche pour a {1,2}
Soit E2a=ker(Ma-2a) et (x,y,z)
^3
(-a+1)x+(-a+1)y+(a-1)z=0
-x+(-2a+3)y+(2a-3)z=0
(a-2)x+(-a+2)y+(a-2)z=0
l1=>l1+(-a+1)l2
(-a+1)y+(-2a+3)(-a+1)y+(a-1)z+(2a-3)(-a+1)z=0
<=>(-2a+3+1)(-a+1)y+(2a-3-1)(-a+1)z=0
<=>(-2a+4)(-a+1)y=(-2a+4)(-a+1)z
<=>y=z
(a-2)x+(-a+2)y+(a-2)y=0
=>x=0
x 0
y = z 1
z 1
donc dim E2a=1
m2a(multiplicité de la valeur propre 2a)
=> Ma n'est pas diagonalisable
hors M4 est diagonalisable, absurde !
merci d'avance pour votre aide.
Bonjour
Je pense qu'en effet elle n'est pas diagonalisable. (le det du carré en haut à gauche vaut 2(1-a)(2-a)) donc le noyau est de dimension 1.
(Je t'ai fait confiance pour le polynôme caractéristique). Alors faut croire que n'est pas diagonalisable... Regarde encore et si tu n'y arrives pas, reviens nous voir!
Bonjour vous deux,
j'ai fait les calculs, je confirme ton polynôme caractéristique (au signe près, mais comme il y a deux définitions...)
Je trouve comme toi dans les cas particuliers a=1 et a=2.
Dans le cas général (a différent de 1 et de 2), je trouve des espaces propres de dimension 1 pour chacune des valeurs propres 2 et 2a, donc la matrice n'est jamais diagonalisable dans ce cas.
(M diagonalisable) <=> (son polynôme minimal, mu, est scindé à racines simples)
Déjà, comme le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique et a les mêmes racines, on a
mu(X) = (x-2)(x-2a)
ou mu(X) = (x-2)(x-2a)²
En calculant (M-2.Id)(M-2a.Id), pour a <> 2 on n'obtient pas la matrice nulle*. Donc mu(X) = (x-2)(x-2a)². Donc mu n'est pas scindé à racines simples, donc M est non diagonalisable.
j'ai le corrigé de mon professeur, d'après lui M4 est diagonalisable et Ma n'est pas diagonalisable pour a{1,2}
avec les autres techniques, polynôme minimal ou le rang je trouve bien ce qu'il faut.
Mais la technique que je fait je trouve pour tous a, Ma non diagonalisable !
donc je comprend pas où est mon erreur !
si vous pouvez me l'indiquer sa serai cool !
Ben, le corrigé de ton professeur est contradictoire! Il ne peut pas à la fois dire que est diagonalisable et que pour
(donc a=4, convient)
n'est pas diagonalisable!
Il n'y aurait pas une embrouille de notations entre a et 2a?
oups c'est moi qui dit une connerie c'est M2 qui est diagonalisable pas M4, désolé !
mais ma question et la même car y'a une contradiction, je montre que Ma est non diagonalisable pour tous a hors M2 est diagonalisable
donc où je me suis trompé !?
Non, pour a=2, la dimension de l'espace propre est bien 2.
(a-2)x+(-a+2)y+(a-2)y=0
=>x=0
est faux si a=2.
qui est bien de rang 1.
Avec le polynôme minimal, la matrice obtenue en calculant (M-2.Id)(M-2a.Id) est nulle pour a = 2, donc le polynôme minmal est scindé à racines simples, et M est diagonalisable.
Sinon,
(a-2)x+(-a+2)y+(a-2)y=0 => x=0
n'est pas vrai si a = 2 (0.x = 0 n'implique pas x=0)
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac