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Diagonalisation
Bonjour!
Un petit coup de pouce ne me ferait pas de mal pour terminer cet exercice!
Soit f l'application qui, à tout polynome P €
n[X] associe le polynome f(P) = Q défini par Q(X)= P(X+1) +XP'(X)
1.a Montrer que f est un endomorphisme de Rn[X]. pas de pblm
b. Ecrire la matrice M de f dans la base canonique. ok
c f est il un automorphisme. ok oui
2.a Quelles sont les v.p de f? L'endomorphisme est il disgonalisable?
J'arrive pas à trouver les valeurs propres, c'est là ou ça pêche!
Merci d'avance!
Bonjour
Si P(X) = anXn+ ...., alors en écrivant que f(P) = 
P tu obtiens:
an(1-n) = avec l'identification des termes de plus haut degré.
Ca limite les valeurs possibles de ...
Ensuite, tester les possibilités.
Sauf erreur.
Sinon la matrice (triangulaire) montre que les seules valeurs propres possibles sont les entiers de 1 à n+1 (les éléments de la diagonale).[quote]
Non, sur la diagonale, il y a (i) ou i est le n° de la ligne/colonne.
ce qui indique que les valeurs propres possibles sont les entiers entre 1 et n+1 (voir mes précédents posts) avec une correction pour celui de 12h 33:
an(1+n) = an avec l'identification des termes de plus haut degré.
On retrouve que = 1+n (condition nécessaire).
Attention, tu n'as pas encore la condition suffisante!
Cherche les solutions de f(P) = (n+1)P , et vérifie à l'aide de la matrice M qu'il y en a toujours une non nulle (donc une droite vectorielle), et donc f n'est pas diagonalisable sauf si n=0 c'est a dire en dimension 1.
Sauf erreur.
Oui il y a erreur
la matrice est triangulaire supérieure
donc les valeurs propres se lisent sur la diagonale (évident si on calcule ) avec leur multiplicité
ici elles sont distinctes donc les valeurs propres sont simples
je vous laisse conclure tous les deux
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