Bonsoir ,

que veux-tu savoir exactement?, quels sont les deux propriétés dont tu parles?

Il s'agit de:
-Si les valeurs propres sont dans le corps de base.
-Le polynçome caractéristique scindé.
C'est que quand je commence à déterminer les valeurs propres, mes calculs n'aboutissent pas.
En posant P(x)=det(A-I_n) souvent même je trouve pas de valeurs propres, il y a un de mes collegues qui me dit que

Je ne sais pas si c'est une erreur d'écriture ou pas... mais le polynome caractéristique est défini par
P(x)=det(A-xI_n)

et si on se trompe pas dans le calcul ça marche dans 100% des cas...
Si tu ne trouves pas de valeurs propres c'est que ta matrice n'est pas diagonalisable...

Bien c'est une erreur de frappe. Mais c'ets que on a même fait un exemple en classe, le prof nous a donné le polynôme directement, quand j'ai repris les calculs j'ai pas trouvé, si vous voulez je peux même vous donner cet exemple.

Je veux bien voir^^

OK? le voici:
Soit A=   -2  -1  2
          -15 -6  11
          -14 -6  11

Calculer P_A(x) , A est-elle diagonalisable?
Je suis nul en Latex.

Je te rassure moi aussi^^

P(x)=det(A-xI3)=-x³+3x²-3x+1=-(x-1)³

Donc 1 est valeur propre triple

A-I3=
-3 -1 2
-15-7 11
-14 -6 10

(A-I3)X=0 <=> x=y=z/2

Ker(A-I3)=vect(1,1,2)

dim(Ker(A-I3))=1

Donc A n'est pas diagonalisable

(on aurait pu remarqué aussi que rg(A-I3)0)

Provient du corolaire:
M est diagonalisable dans Mn(K) ssi le polynome caractéristique de M est scindé dans K[X] et pour toute valeur propre x de M, l'ordre de multiplicité de x est la dimension du sous espace propre associé à x.

Hello à tous ! Et re jito ^^

On peut aller un chouïa plus vite pour conclure ^^

1 est valeur propre triple.

Si A était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice avec que des 1 sur la diagonale .. l'identité quoi, et on pourrait écrire . Or visiblement A n'est pas la matrice unité, donc l'hypothèse "A diago" est fausse!

J'avoue ne pas y avoir pensé tout de suite! Bien joué.
T'es sur que t'es en 3/2 toi ? lol

Oui oui je croise les doigts pour pas faire 5/2

En fait j'ai vu l'astuce en cours donc c'est tout de suite plus facile, j'ai pas grand mérite.

Dès que t'as une seule valeur propre de multiplicité = la dimension de l'espace, tu peux dire ce que j'ai dit, et ça marche très bien.

je comprend mais comment tu as trouvé le polynôme caractéristique?
C'est là mon problème.

Tu sais calculer un déterminant??

Le polynome caracteristique d'une matrice carrée A est

  (ou I est la matrice identité de la bonne dimension)

oui, mais j'ai souvent des nuances, sur les calculs , si je pouvais avoir de site ou de cours sur cette partie me fera plaisir.Merci

pour calculer det(A-xI) on essaye de faire apparaitre des facteurs en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes
si l'on obtient toute une colonne avec x-3 par ex en facteur dans tous les coeffs on peut le mettre en facteur ds le déterminant
ainsi on dispose ensuite d'une colonne sans x plus commode pour effectuer des opérations élémentaires
on s'inspire de Gauss pour essayer de simplifier les calculs et échelonner le déterminant
comme adresse pour des exos pratiques regarde WiMS
il y a des exos pour s'entrainer sur le calcul de déterminant mais je n'en n'ai malheureusement pas vu sur le calcul du polynôme caractéristique

Merci à tous de m'avoir apporté votre aide.