Bonjour notre professeur nous a donné un exercice à faire mais je n'y arrive pas du tout le voici :

Sur certains sous groupes de GL_n()...

1- Soit un sous groupe de GL_n() formé de matrices diagonalisables tel que l'ensemble {Tr(G); G } soit fini. Soit V le sous espace vectoriel de M_n() en engendré par , (G₁,...,G_p) une base de V extraite de G et l'application définie par :

: ^p
      G (Tr(GG₁),...,Tr(GG_p))

(a) On veut montrer que est injective. Soit G, G' G telles que (G)=(G')
i. Montrer que pour tout M V on a Tr((G-G')M)=0, en déduire que Tr(G(G')^-1)=n
ii. Montrer par récurrence que Tr(G(G')^-1)^k)=n. On utilisiera le fait que Tr(GM)=Tr(G'M) pour tout M V.  (c'est la seule que je sais à peu près faire)
iii. Justifier que G(G')^-1 - I_n est diagonalisable
iv. En déduire que est injective.

(b) Montrer alors que est de cardinal fini N' que l'on majorera par le cardinal N de {Tr(G), G )

MERCI