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diagonalisation
bonjour,
voilà j'ai un exercice et je n'arrive pas à le débuter
soit B une matrice carré symétrique définie positive de valeurs propres a1...an. Montrer qu'il existe un polynôme de degré inférieur ou égal à n-1 tel que P(ai2)=ai pour tout i de [| 1;n |] et que P(B2)=B
la seule chose que j'ai pu remarquer grâce à mon cours, c'est que les valeurs propres de B sont strictement positives et que le polynôme caractéristique (P(B)=0) de B est de degré n. A part ça je patauge
Bonsoir.
Soient les N valeurs propres distinctes de B, 1
N n.
Considérons alors
La condition , 1
i N, donne un système d'ordre N d'inconnues dont le déterminant principal est un déterminant de Vandermonde non nul.
Donc, on peut déterminer
Bonjour, brakos
L'existence du polynôme P est une conséquence du cours sur les polynômes d'interpolation de Lagrange(qui ne se situe pas dans le cours sur les matrices symétriques ou le cours sur la réduction des endomorphismes).
Pour le deuxième résultat, on écrit que
B = Q diag( a_1,...,a_n) Q^(-1)
puis que
P(B²) = Q diag(P(a_1²),...,P(a_n²)) Q^(-1)
Bonjour Perroquet.
Ta méthode est plus agréable que la mienne qui suppose connu le déterminant de Vandermonde.
merci pour vos réponses !!
Du coup on ne se sert pas de l'hypothèse que B est symétrique, et j'imagine que le fait que les valeurs propres soient strictement positives fait que dans la résolution du système, exhibée par Raymond, on aura à calculer un déterminant (qui sera non nulle) avec des conditions sur la ai à savoir d'être non nulles?
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