Bonjour.

Je trouve les mêmes valeurs propres que toi.

Par contre pour les sous-espaces propres, attention : les vecteurs propres sont non nuls.

Je trouve :

E₍₁₎ = Vec((1 , 0 , 0))

E₍₎ = Vec((-5-3 , 2+2 , 2)

E_(-) = Vec((-5+3 , 2-2 , 2)

Ah oui c'est vrai, j'avais oublié ça mais déjà pour E₍₁₎, on trouve la même chose.
Par contre pour E₍₂₎ E₍₃₎, comment tu as fait ?
J'ai galéré pour résoudre le système d'équation et en plus c'est faux.

On s'accroche aux calculs !

Pour 3 j'ai exprimé y en foncton de z, puis x en fonction de z.

Enfin, j'ai pris z = 2

Remarque : pour -3, inutile de tout refaire, on remplace 3 par -3

Bon déjà j'ai compris pourquoi je n'arrivai pas à trouver les vecteurs propres, j'ai compris mon erreur. Mais une fois qu'on trouve E₍₁₎, E₍₂₎ et E₍₃₎. J'ai lu quelque part qu'il fallait utuiliser la multiplicité des valeurs propres pour savoir si la matrice est diagonalisable. C'est quoi la "multiplicité" ?

La multiplicité d'une racine est le nombre de fois où cette racine est solution.

Si P(X) = (X-1)²(x+3), alors la racine 1 a pour multiplicité 2 et la racine -3 a pour multiplicité 1.

Ici, les trois valeurs propres ont pour multiplicité 1 et la dimension de chaque sous espace propre est égal à 1, donc, la marice est diagonalisable.

De toute façon, chaque fois que les valeurs propres sont distinctes (donc, de multiplicité 1), la matrice est diagonalisable.

ok ok je vais méditer sur ça merci beaucoup.

Deux théorèmes

1°) A est diagonalisable ssi il existe une base de vecteurs propres

2°) A est diagonalisable ssi la dimension de chaque sous-espace propre est égal à la multiplicité de la valeur propre associée.

Bonne journée.

Merci pour ta réponse, ce qui me pose problème maintenant c'est de résoudre les systémes d'équations pour vecteurs propres.
Voila ce que j'ai fait pour x=3:

3x + 2y +  z = 3x
      y + 2z = 3y
      y -  z = 3z

     2y +  z = 0
    -2y + 2z = 0
      y - 4z = 0

           z = -2y
    -2y - 4y = 0
      y + 8y = 0

y=0 et z=0

donc on a (S)={(x,y,z)/x, z=y=0}
donc on a vect(1,0,0)

Pour x=3:

3x + 2y +  z = 3x
      y + 2z = 3y
      y -  z = 3z      

3-3x + 2y +  z = 0
     1-3y + 2z = 0
      y - 1-3z = 0

3-3x + 2y +  z = 0
     1-3y + 2z = 0
      y = 1+3z

3-3x + 2y +  z = 0
     (1-3) (1+3)z  + 2z = 0
      y = 1+3z

3-3x + 2y +  z = 0
     (-2)z  + 2z = 0
      y = 1+3z

la on obtient 0z=0, moi je sais pas quoi faire avec ça donc où est-ce que je me trompe ?

Je n'ai pas eu de problème.

L'équation (3) donne :

y = (1+)z

En reportant dans (1) :

(-3)x = 2(1+)z + z

(-3)x = (3+2)z