On pose E = M_n(K) . tr est une forme linéaire ser E donc H = tr^-1(0) est un hyperplan vectoriel .
Soit A E telle que a = tr(A) 0 . E est somme directe de H et V = K.A .

Soit donc  f : X a.X - tr(X).A  de E dans E . On a :
   . f L(E) , c'est clair.
   .f(A) = 0
   . f(X) = a.X si X H

Je crois que ça suffit pour pouvoir dire que f est diagonalisable . Non ?

non c'est pas suffisant j'ai trouvé la réponse
on a f(M)=(tr(A))M-(tr(M))A
on a f(A)=0 et on va calculer
f^{[/sup]2=f(f(M)=f((tr(A))M-(tr(M))A )
              =((tr(A))f(M)-(tr(M))f(A)
              =((tr(A))f(M)
et on prend le polynome annulateur de f est
P(X)=X[sup]}2-((tr(A))X=X(X-((tr(A))
c'est un polynome scindé a racine simple donc f est diangonalisable.