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diagonalisation
bonjour;
j'ai un exercice sur lequel je buche depuis hier.
voici l'énoncé:
soit A UNE MATRICE CARRE = -1 2 2
2 2 2
-3 -6 -6
1) DETERMINER LES VALEURS PROPRE ET VECTEURS PROPRE DE A;
2)DONNEZ UNE BASE DE VECTEURS PROPRES, LA MATRICE DE PASSAGE;
3) a) DONNEZ LA MATRICE D SEMBLABLE à A PAR RAPPORT à CETTE BASE
b) VERIFIEZ QUE P^-1*A*P =D.
J'AI TROUVE COMME VALEUR PROPRE {0,-2,-3} ET POUR CHAQUE VALEUR PROPRE LES VECTEURS SUIVANT
{(-2,1,0);(0,-1,1);(-1,0,1)}
IL ME RESTE DONC LES DERNIERES QUESTIONS.
MERCI ENCORE
Bonjour,
Cette matrice possède 3 valeurs propres (je te fais confiance) dans un espace de dimension 3, elle est donc diagonalisable.
Ce qui veut dire qu'elle est semblable à une matrice diagonale dont la diagonale est composée des valeurs propres de la matrice.
Tu as le choix : D=diag(0,-2,-3) par exemple ou alors tu changes le sens des valeurs propres sur la driagonale : -2,0,-3, etc...
La matrice de passage est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres associées aux valeurs propres de la matrice. Si tu veux obtenir D=diag(0,-2,-3), il faut que la matrice de passage P soit composée d'un vecteur associé à la valeur propre 0 dans la première colonne, à -2 dans le deuxième et à -3 dans la troisième. La place d'un vecteur propre dans la matrice de passage dépend de la place de la valeur propre sur la diagonale de la matrice diagonale.
Si la question est VÉRIFIER, il va alors falloir faire le double produit matriciel en ayant préalablement inversé la matrice de passage ! ...
Tu as la matrice de passage P, calcule son inverse P^(-1) (résolution d'un système par exemple) puis fais le produit matriciel P^(-1)*A et multiplie le résultat par la matrice P ; tu devrais alors tomber sur D : vérification effectuée 
Si tu appelles f1, f2, f3 les vecteurs colonnes et e1,e2,e3 les vecteurs de la base dans laquelle la matrice est écrite, tu peux écrire :
a_ie1+b_ie2+c_ie3=f_i pour i allant de 1 à 3 (les a_i sont les coefficients de ta matrice mais comme je ne sais pas comment tu as écris la matrice P j'ai pris des coefficients génériques).
Tu as donc un système de trois équations à trois inconnues e1,e2 et e3 que tu peux résoudre grâce à la méthode du pivot de Gauss.
À la fin tu obtiens donc : e_i=a'_if1+b'_if2+c'_if3 pour i allant de 1 à 3.
P est la matrice représentant la famille (f1,f2,f3) dans la base (e1,e2,e3), P^(-1) est donc la matrice représentant la famille (e1,e2,e3) dans la base (f1,f2,f3). Tu peux donc remplir la matrice P^(-1) par colonne.
Ça va ?
PEUX TU ME DONNER EN QUELQUES MOTS LA METHODE DU PIVOT DE GAUSS CAR CHEZ MOI SON UTILISATION EST N'EST PAS LA BIENVENUE. 
Tu es en prépa ?!
Pour résoudre un système, il ne faut utiliser QUE la méthode du pivot de Gauss : c'est une méthode algorithmique qui permet TOUJOURS d'arriver au résultat alors qu'en faisant des substitutions ou en voulant aller plus vite on a vite faire de tourner en rond !
Le but est de se ramener à un système triangle dont les coefficients sont non nuls.
Prenons quelques exemples :
2x+2y+z=0 (L1)
x+2y+z=0 (L2)
2x+y=0 (L3)
On garde la première ligne, le premier pivot est 2 qui est bien non nul. On remplace (L2) par (L1)-2(L2) le but étant de se débarrasser des x à l'aide de combinaisons linéaires des lignes du système. On remplace (L3) par (L1)-(L3) pour se débarrasser des x. Le système est alors équivalent à :
2x+2y+z=0 (L1)
-2y-z=0 (L2)
y+z=0 (L3)
On garde désormais les deux premières lignes parce qu'on vient d'obtenir comme deuxième pivot -2 (qui est bien non nul). Reste à se débarrasser des y de la dernière ligne : on remplace donc (L3) par (L2)+2(L3). Le système est alors équivalent à :
2x+2y+z=0
-2y-z=0
z=0
Le système se résout ensuite par remontée : on a z=0 donc y=-(1/2)z=0 puis x=-y-z=0 (bon là c'est nul parce qu'il y a des zéros partout mais je n'avais pas envie de faire tout plein de calculs non plus !).
Il est important de bien présenter ses calculs : on place les x sous les x, les y sous les y, etc.
Donc là on obtient une solution unique, tu peux aussi obtenir une infinités de solutions (quand tu arrives à 0=0 par exemple) ou même aucune (quand tu arrives -2=0).
J'espère que ça t'aura éclairé...
Tu es en prépa et le pivot de Gauss n'est pas le bienvenue ? Nous c'était plutôt : vous oubliez ce que vous avez vu avant de venir ici pour résoudre un système. C'est pivot de Gauss obligé ! Et c'est vrai que, comme toute méthode algorithmique, elle a l'avantage de toujours mener au résultat (on évite alors de tourner en rond).
Commencer n'est jamais facile ? Qu'est-ce que tu veux dire par là ?
Ah ok, je comprends. La motivation est la clé. Bon courage pour la suite alors et si tu as d'autres questions maintenant vas-y pendant que je suis là.
Comment trigonaliser une matrice ?
(a) Recherche d'éléments propres : si le polynôme est scindé, alors la matrice est trigonalisable (s'il est scindé racines simples, alors la matrice est diagonalisable). Tu connais la notion de polynôme caractéristique associé à un matrice ?
La matrice est donc semblable à une matrice triangulaire supérieure avec les valeurs propres sur la diagonale (si l'espace propre associé à la valeur propre lambda est de dimension n alors la valeur propre lambda est présente n fois sur la diagonale), ensuite tu as des 0 en dessous de la diagonale et des coefficients inconnus au-dessus de la diagonale.
(b) En dimension trois, si tu écris la matrice triangulaire supérieure, tu vois qu'il y a trois coefficients de la matrice a, b et c qui sont inconnus. Il faut les choisir le plus simplement possible (pour simplifier les calculs).
C'est un peu plus délicat à expliquer que la diagonalisation. Enfin, sans un exemple en tout cas...
oui c'est vrai que sans exemple c'est pas facile mais je vais lire et relire voir si je comprendrais. MERCI
Essaye de trigonaliser la matrice (3,3) suivante si tu veux :
1 1 1
1 1 3
0 0 2
(a) Détermination du polynôme caractéristique, justification de la trigononalisabilité de la matrice, détermination des valeurs propres et des espaces propres associés (avec une base pour chaque espace propre).
(b) Tu vas trouver deux valeurs propres donc deux espaces propres. Ils sont tous deux de dimension un, tu peux prendre un vecteur dans la base de chaque espace ce qui fera deux vecteurs. Il faut en trouver un troisième pour obtenir une base. Il faut le chercher en discutant sur les coefficients inconnus de la matrice.
Non, tu devrais trouver P(X)=-X(X-2)² comme polynôme caractéristique. Il possède deux racines : 0 de multiplicité un et 2 de multiplicité deux. P(X) est un polynôme scindé donc A est trigonalisable (A n'est pas diagonalisable car la somme des espaces propres associés aux valeurs propres 0 et 2, qui vaut 2, est différente de la dimension de l'espace ambiant, qui est de dimension 3).
Détermine désormais les espaces propres associés aux valeurs propres 0 et 2. Détermine une base de chacun de ces espaces.
JE ME SUIS TROMPER EN REPORTANT LA MATRICE MOI J'AI PRIS
1 1 1
1 1 3
0 0 3
AU LIEU DE CE QUE TU AVAIS ECRIT C'EST SANS DOUTE LA FATIGUE!!!
Ah... Oui mais cette matrice possède, en effet, trois valeurs propres dans un espace de dimension trois donc est diagonalisable...
Ben celle de départ : tu voulais pas faire de la trigonalisation ? On peut faire de la diagonalisation aussi. À toi de voir : la première est à trigonaliser (celle que j'avais donné), la seconde (celle que tu as mal copiée) est à diagonaliser).
Oui c'est ça, du coup la matrice A est semblable à une matrice diagonale supérieure T de la forme :
0 a b
0 2 c
0 0 2
Pour avoir des calculs les plus simples possibles, on peut choisir a=0. Il reste à déterminer b et c pour que la famille (e1,e2,e3) forme une base.
e1 est un vecteur propre associé à la valeur propre 0, donc par exemple e1=(1,-1,0) et e2 est un vecteur associé à la valeur propre 2, donc par exemple e2=(1,1,0). Il reste donc à déterminer e3=(x,y,z).
On doit avoir Ae3=be1+ce2+2e3 d'où le système :
x+y+z=2x+b+c
x+y+3z)2y-b+c.
Il faut donc choisir des valeurs pour b et c les plus simples possibles mais qui vérifient ce système et en sachant que (e1,e2,e3) doit être une base.
Je te laisse résoudre le système et proposer des valeurs pour b et c.
On a donc la matrice de passage P suivante :
1 1 x
-1 1 y
0 0 z
où x,y, et z vont bientôt être déterminés.
Et par conséquent, on aura P^(-1)*A*P=T.
Si on appelle a l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice A, alors on cherche une base (e1,e2,e3) dans laquelle la matrice de a est triangulaire, c'est-à-dire Mat(e1,e2,e3)(a)=
0 0 b
0 2 c
0 0 2
Par définition, on a donc a(e1)=0, a(e2)=2e2 et a(e3)=be1+ce2+2e3.
e1 et e2 sont connus (vecteurs appartenant aux bases des espaces propres associés aux valeurs propres de A) donc c'est e3 qu'il faut déterminer.
On pose donc e3=(x,y,z).
La condition a(e3)=be1+ce2+2e3 s'écrit donc :
x+y+z=2x+b+c
x+y+3z=2y-b+c
2z=2z
bonjour,
J'ai un exercice sur lequel je buche un peu depuis hier c'est que j'ai une matrice A =
-1 2 2
2 2 2
-3 -6 -6
J'ai trouvé comme valeurs propres {0,-2,-3} et vecteurs propres associés {(-2,1,0);(0,-1,1);(-1,0,1)}
ELLE EST DONC DIAGONALISABLE; AINSI DONC JE CHERCHE LA MATRICE SEMBLABLE; LA MATRICE DE PASSAGE ET SON INVERSE.
MERCI
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