Bonjour,

Regarde les possibilités que tu as pour le polynôme caractéristique P de f, sachant que :
¤ deg(P)=3,
¤ 1 et -1 sont valeurs propres de A donc ...

le polynôme caractéristique c'est bien P(X)= X^4-X²=0  donc il est pas de degré=3

Ne confonds pas polynôme annulateur et polynôme caractéristique !
Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension n est toujours de degré n. Ce n'est pas moi qui l'affirme mais un théorème.

on voit pas ça en HEC dsl je ne connais pas y aurait pas une autre mzthode ??

Tu connais la définition du polynôme caractéristique non?
Sinon tu connais un critère de diagonalisation utilisant les sous espaces propres ou leurs dimensions ?

non jamais entendu parlé du poly annulateur parcontre les critère oui, mais bon je sais pas comment prouver que dim de E1 + dim E-1 =3 ou encore que E1+ rond E-1 =R^3

Ok.
Justement, ce n'est pas toujours le cas.

Est-ce que tu connais le lemme des noyaux ?

non plus.
Tant pis je posterai la réponse demain.

Non ce n'est pas un soucis, c'est juste pour essayer de voir tes outils.

Bref, on peut distinguer deux cas.
¤ f est inversible : dans ce cas, l'égalité de départ devient , c'est à dire .
Ainsi tu peux montrer que à la main.
Cela implique bien que f est diagonalisable avec pour valeurs propres 1 et -1 seulement.

¤ f n'est pas inversible : dans ce cas, cela veut dire que 0 est une valeur propre de f.
Soit tu sais que dans un espace vectoriel de dimension n, si un endomorphisme a n valeurs propres distincts alors il est diagonalisable, auquel cas c'est fini.
Soit tu montres à la main que   et tu en déduis encore que f est diagonalisable avec pour valeurs propres 1,-1 et 0.