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diagonalisation d'une matrice

Posté par
anneso17 24-12-08 à 11:44

bonjour,
je bloque sur un exercice je vais vous mettre l'enoncé et les réponses que j'ai trouvées
1) calculer le polynome caracteristique, les valeurs propres et vecteurs propres et le polynome minimal de la matrice complexe suivante
A=i 0 1
  0 i 0
  0 0 -i

2)dire si cette matrice est diagonalisable ou pas justifier votre réponse
3) si a est diagonalisable trouver une matrice diagonale D et une matrice P tel que A= PDP^(-1)

voici mes réponses :
1) polynome caractéristique : -(i+x)(i-x)²
valeurs propres : i et -i
vecteurs propres (0,0,0)
prolynome minimal : (i+x)(i-x)²

2)donc je pense que cette matrcie est diagonalisable car elle ressemble a la matrice
i 0 0
0 i 0
0 0 -i
mais je pense que ce n'est pas suffisant comme justification je pennse qu'il fauut se servir du vecteur propres mais blocage...

3)donc je pense que D est la matrice que j'ai mise au dessus mais pour P je ne vois pas du tout

merci d'avance et joyeuses fetes

Posté par
gui_toure : diagonalisation d'une matrice 24-12-08 à 11:51

Salut !

1) Ok pour le polynôme caractéristique et les valeurs propres ; en revanche, par définition un vecteur propre est non-nul, donc (0,0,0) ne marche pas

polynôme minimal > je ne suis pas d'accord ; teste tous les polynômes qui divisent le poly caractéristique

2) Oui elle est diagonalisable mais comme tu le dis, ta justification est insuffisante

3) D sera une matrice diagonale avec les valeurs propres sur la diagonale. P sera la matrice de passage de la base canonique à la base composée de vecteurs propres.

Posté par
raymond Correcteurre : diagonalisation d'une matrice 24-12-08 à 11:57

Bonjour.

Je suis d'accord pour le polynôme caractéristique et les valeurs propres.

Pour les vecteurs propres : grosse erreur. Tu dois savoir qu'un vecteur propre est forcément non nul.

Pour trouver les vecteurs propres X associés à la valeur propre i, tu dois résoudre le système :

A.X = i.X, avec tX = (x,y,z)

Tu trouveras que le sev propre associé : E(i) est un plan vectoriel dont une base est { (1,0,0) ; (0,1,0) }
Pour E(-i), je te laisse chercher.

Comme dim(E(i)) = 2, A est diagonalisable.

Ceci montre que le polynôme minimal doit être à racines simples. pA(X) = (x+i)(X-i) = X² + 1.

Pour P, prend une base de vecteurs propres.

Posté par
anneso17re : diagonalisation d'une matrice 24-12-08 à 13:18

merci pour votre aide je vais vous emebeter encore un peu..
j'aimerais savoir si mes matrices P et D sont correctes
D= 1 0 0
   0 0 0
   0 0 0
P= -i -i i-1
    0 0 0
    0 0 0

merci encore

Posté par
gui_toure : diagonalisation d'une matrice 24-12-08 à 13:29

Euh non c'est faux

On peut prendre 3$\rm D=\(\array{i&0&0\\0&i&0\\0&0&-i\) et 3$\rm P=\(\array{1&0&0\\0&1&0\\1&0&-2i\) : 3$\rm\fbox{A=PDP^{-1

Posté par
anneso17re : diagonalisation d'une matrice 24-12-08 à 13:37

ok j'ai vraimentrien compris
donc pour D je comprends mais pour P je ne vois pas du tout comment tu fais... pourrais tu m'expliquer si cela ne te dérang pas ..
merci beaucoup

Posté par
gui_toure : diagonalisation d'une matrice 24-12-08 à 13:59

Bonjour Raymond

Oki oki.

Déjà avant de diagonaliser on va s'assurer que notre matrice A est diagonalisable.

Citation :
2)donc je pense que cette matrcie est diagonalisable car elle ressemble a la matrice
i 0 0
0 i 0
0 0 -i


Tu as eu une bonne intuition, mais ton argument est faux.
Par exemple la matrice 3$\rm M=\(\array{1&1\\0&1\) ressemble à 3$\rm I_2=\(\array{1&0\\0&1\) mais M n'est pas diagonalisable (I2 est diagonale donc diagonalisable)

Raymond s'est servi de la caractérisation suivante :

A est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur 3$\mathbb{C}[X] et pour toute valeur propre 3$\lambda de A, la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 3$\lambda est égal à l'ordre de multiplicité de 3$\lambda.

Si tu retiens mieux les formulations mathématiques :

A est diagonalisable 3$\Longleftright\ \chi_A est scindé sur 3$\mathbb{C}[X] et 3$\forall \lambda\in\rm{Sp}(A), 3$\dim\(E_{\lambda}(A)\) est égal à l'ordre de multiplicité de 3$\lambda

En pratique, pour chaque valeur propre 3$\lambda on regarde si 3$\dim\(\rm{Ker}(A-\lambda I)\)=m(\lambda) (3$m(\lambda) est l'ordre de multiplicité de 3$\lambda)

¤ si 3$m(\lambda)=1 ie 3$\lambda est racine simple : 3$1\le\dim\(\rm{Ker}(A-\lambda I)\)\le1 donc 3$\dim\(\rm{Ker}(A-\lambda I)\)=m(\lambda)
  >> c'est toujours vérifié

¤ on regarde pour les valeurs propres 3$\lambda tq 3$m(\lambda)\ge2

Ici on a une valeur propre double : i. Raymond a cherché une base de 3$\rm{Ker}(A-iI_3) et a trouvé que ce sous-espace propre était un plan vectoriel engendré par les vecteurs 3$v_1\|1\\0\\0 et 3$v_2\|0\\1\\0. En clair, tout vecteur  z de IR3  qui est combinaison linéaire de v1 et v2 vérifie : 3$Az=iz

Quant au sous-espace propre associé à la valeur propre -i, il est égal à 3$\rm{Ker}(A+iI_3). Je trouve que c'est une droite vectorielle engendrée par le vecteur 3$v_3\|1\\0\\-2i

En conclusion : A est diagonalisable car son polynôme caractéristique est scindé sur 3$\mathbb{C}[X] et pour toute valeur propre 3$\lambda de A, la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 3$\lambda est égal à l'ordre de multiplicité de 3$\lambda.


Dans la base formée des vecteurs (v1,v2,v3), A s'écrit : 3$\rm\(\array{i&0&0\\0&i&0\\0&0&-i\)

P est la matrice des coordonnées des vecteurs de la nouvelle base ( (v1,v2,v3) ) dans l'ancienne ( la base canonique de IR3 ), donc comme je l'ai dit on a 3$\rm P=\(\array{1&0&0\\0&1&0\\1&0&-2i\)

Par définition, 3$\rm\fbox{A=PDP^{-1

Posté par
anneso17re : diagonalisation d'une matrice 24-12-08 à 14:04

merci beaucoup de votre aide
je pense pouvoir y arriver et comprendre avec toutes ces explications
je vais y réfléchir
merci beaucoup

Posté par
gui_toure : diagonalisation d'une matrice 24-12-08 à 14:07

Mais je t'en prie

Bon courage !

Moi tu peux me tutoyer je ne dois pas être bien plus vieux que toi ^^


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