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Diagonalisation d'une matrice

Posté par
Clementi 02-01-10 à 17:56

Bonjour,
Je recherche les valeurs et vecteurs propres de cette matrice :
M = [4 -1 3
     2  1 6
     2 -1 8]
J'ai trouvé en valeurs propres l1=l2=2 et l3 = 7.
Mais je bloque pour trouver les vecteurs propres...

Merci pour votre aide,

Posté par
gui_toure : Diagonalisation d'une matrice 02-01-10 à 18:01

Bonjour Clementi,

Je trouve comme valeurs propres 2,3 et 8. On en déduit immédiatement que M est diagonalisable (3 valeurs propres dans 3$\mathcal{M}_3(\mathbb{R})).

Quant aux vecteurs propres, détermine une base de 3$\rm{ker}(M-\lambda I_3) où 3$\lambda\in\{2,3,8\}.

Bon courage, et bonne année !

Posté par
raymond Correcteurre : Diagonalisation d'une matrice 02-01-10 à 18:05

Bonsoir.

Je trouve pour valeurs propres : 2 ; 8 ; 3.

Posté par
gui_toure : Diagonalisation d'une matrice 02-01-10 à 18:17

Bonjour Raymond,

3$\blue\scr{M}es\ \scr{M}eilleurs\ \scr{V}oeux\ \scr{P}our\ 2010\ !

Posté par
Clementire : Diagonalisation d'une matrice 02-01-10 à 18:24

Bonjour gui_tout et Raymond,

Merci pour vos réponses! et Bonne Année également!
A mon avis, ma méthode pour trouver les valeurs propres est complètement erronée...
Comment avez-vous procédé?
Par avance merci pour votre aide,

Posté par
raymond Correcteurre : Diagonalisation d'une matrice 02-01-10 à 18:28

Bonjour gui_tou

3$\scr{Bonne annee 2010}

Clémenti. reviens à la définition : A.X = .X

Posté par
Clementire : Diagonalisation d'une matrice 02-01-10 à 19:02

Malheureusement cette définition ne m'aide pas davantage à comprendre...
Auriez-vous une méthode avec d'autres exemples svp?
Merci beaucoup,

Posté par
raymond Correcteurre : Diagonalisation d'une matrice 02-01-10 à 19:06

Le conseil que je t'ai donné est pour la recherche des vecteur propres.

pour les valeurs propres résous l'équation : det(A - I) = 0

Posté par
gui_toure : Diagonalisation d'une matrice 02-01-10 à 19:15

Pour ma part, j'ai calculé le polynôme caractéristique :

3$ \chi(x)=\|\array{ 4-x& -1&3\\2& 1-x&6\\2& -1&8-x }\|

On retranche la deuxième à la dernière ligne : 3$L_3\leftarrow L_3-L_2

3$ \chi(x)=\|\array{ 4-x& -1&3\\2& 1-x&6\\0& -2+x&2-x }\|

Et j'ai développé selon la première colonne :

3$ \chi(x)=(4-x)\[(1-x)(2-x)-6(-2+x)\]-2\[-(2-x)-3(-2+x)\]
3$ \chi(x)=-x^3+13x^2-46x+48
3$ \chi(x)=-(x-2)(x-3)(x-8)

Posté par
raymond Correcteurre : Diagonalisation d'une matrice 02-01-10 à 19:20

J'ai fait le même calcul.

Posté par
Clementire : Diagonalisation d'une matrice 02-01-10 à 21:43

Merci beaucoup pour vos réponses.
Auriez-vous par hasard des cours ou des exercices supplémentaires sur la diagonalisation d'une matrice svp?

Par avance merci,

Posté par
gui_toure : Diagonalisation d'une matrice 03-01-10 à 10:19

Bonjour,

Voici quelques (!) exos :


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