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Diagonalisation et Inversibilité
Bonjour,
On considère une matrice (sauf
) qui a comme polynôme caractéristique
.
1°) Je cherche à savoir si la matrice est diagonalisable.
L'ordre de multiplicité de la valeur propre est . Si n =1, alors 1 est valeur propre simple unique, donc
est diagonalisable. Et si
, il faut que
, soit
. Je sais que
, mais je ne vois pas comment conclure..
2°) Enfin, je cherche à savoir si la matrice A est inversible.
Je sais que est inversible si et seulement si
. Or on sait que
. Mais comment se ramener à
?
Merci d'avance! 
Salut
1) Supposons ta matrice diagonalisable, elle serait semblable à la matrice identité dans ce cas ! et donc ça serait la matrice identité même..; Or ton énoncé éloigne cette matrice ... Ta matrice n'est donc pas diagonalisable
2) 0 n'est pas racine du polynôme caractéristique et donc n'est pas une valeur propre. A est donc inversible
Salut !
1) L'ordre de multiplicité de la valeur propre 1 est . A est diagonalisable si et seulement si
.
Vu qu'on ne connaît pas trop A, il faut raisonner autrement. Puisque . Supposons A diagonalisable : on sait alors que A est semblable à :
Donc il existe une matrice inversible P telle que . Or
donc
, ce qui est contraire à l'hypothèse de départ.
Donc A n'est pas diagonalisable.
2) on travaille en dimension finie, on peut parler de dimension sans rien craindre
A inversible
0 n'est pas valeur propre de A
Puisque c'est gagné, A est inversible
Merci pour vos réponses!
Pour le 1°), c'est ok. Par contre, je n'ai pas vraiment saisi le 2°). Pourquoi le fait que ne soit pas valuer propre implique que
est inversible? De plus, pourquoi A inversible ssi
? Y-a-t-il un rapport avec le fait que
?
A inversible <==> Ker(A)={0} <==> dim(Ker(A))=0 <==> dim(Ker(A-0I))=0 <==> 0 n'est pas valeur propre de A
si on appelle f l'endomorphisme de IRn canoniquement associé à A, on a :
f bijectif <===> f injectif <===> Ker(f)={0IRn} <===> Ker(A)={0} (matrice nulle ici)
Le déterminant d'une matrice est inversible si et seulement si la matrice est inversible (matrice à ceofficients dans un anneau commutatif).
Sinon, si tu ne vois pas directement que det(A) est non nul avec les valeurs propres, tu es capable de le voir quand même avec le polynôme caractéristique. Le déterminant se lit directement à partir du polynôme ...
Ca revient en fait au même ...
Oui, comme je t'ai dit on peut lire plusieurs informations sur ta matrice grace au polynôme caractéristique.
Trace, déterminant notamment...
Comme le polynôme caractéristique ne change pas en fonction de la base choisie, regarde ce qui se passe pour des matrices triangulaires par exemple.
A partir de \det(A -XI) = (1-X)^n, on peut directement conclure que \det(A) \not = 0?
Oui: le polynome caractéristique (1-X)^n a une seule racine, 1 . Or les valeurs propres sont des racines du polynome caractéristique. Donc la seule valeur propre est 1.
Un endomorphisme est non inversible lorsqu'il existe un vecteur non nul v qui a pour image 0, c'est a dire que A(v) = 0.v, c'est a dire que 0 est une des valeurs propres de A. Or ici, c'est impossible car 1 est la seule valeur propre.
Conclusion: A n'est pas non-inversible, donc A est inversible.
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