Pour la 1)a).
det(A-XId) =
1-X    1       0
1/2  3/2-X    -1/2
-1/2  1/2    3/2-X

par rapport à la première ligne je trouve:
= -X^3+4X²-(11/2)X+(5/2)-(1/2)+(X/2)
= (X-1)(-X²+3X-2)
= -(X-1)²(X-2)

Est-ce normale que dans ma réponse il y a un moins ? Est-ce quand même bon?

Bonjour

Aucun problème. Selon les définitions on donne pour polynôme caractéristique det(IX-A) ou det (A-XI) (ce que tu as pris) Ils peuvent différer d'un"moins" mais comme on s'intéresse à ses racines ça n'a pas d'importance.

Bonjour, d'accord je vous remercie Camélia pour votre réponse.
1b).
Je ne suis pas sûr de ma réponse, mais je dirai:
Le problème c'est qu'on ne sait pas si c'est diagonalisable ou trigonalisable (on nous le demande à la prochaine question)

D'aprés un théorème de Dunford:
Pa(X)=(X-1)²(X-2)

dim Ker(f-Id)² = 2
dim Ker(f-2Id) = 1
De plus dim R3 = 3
donc R3=Ker(f-2Id)Ker(f-Id)²
Ai-je bien justifié

OK

Et même si A était diagonalisable, est-ce qu'on aurait pu utiliser ce théorème, car c'est un théorème de Dunford et c'est pour la trigonalisation

Ce théorème est toujours vrai, mais il ne dit pas si A est ou n'est pas diagonalisable.

D'accord, pour là question 1c) A n'est pas diagonalisable car son polynôme caractéristique n'est pas scindé à racines simples .
Mais on demande de le démontrer est-ce une Démo ?

Bonjour.

Camélia étant déconnectée, je me permets de prendre la relève.

Attention : tu confonds polynôme caractéristique et polynôme minimal. Le polynôme caractéristique peut avoir des racines multiples et l'endomorphisme associé peut être quand même diagonalisable.
Le meilleur exemple : prends la matrice unité d'ordre n. Son polynôme caractéristique est (X - 1)ⁿ et pourtant, elle est diagonalisable ! Par contre, son polynôme minimal est X - 1.

Ici, pour prouver que A n'est pas diagonalisable, cherche la dimension de Ker(A-I). Tu trouveras 1.
Pour que A soit diagonalisable il aurait fallu trouver 2.
(A diagonalisable ssi la dimension de chaque sous-espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre dans le polynôme caractéristique).

Bonjour raymond
D'accord, j'ai bien compris votre petite démonstration merci.
Maintenant pour la 2).
On remarque que:
f(e'1)=2e'1
f(e'2)=e'2
f(e'3)=e'2 + e'3

f(e'1)=2e'1
f(e'1)-2e'1=0
(f-2Id)(e'1)=0
donc e'1 Ker(f-2Id)

f(e'2)=e'2
f(e'2)-e'2=0
(f-Id)(e'2)=0
donc e'2 Ker(f-Id)

f(e'3)=e'2 + e'3
f(e'3)-e'3=e'2
(f-Id)(e'3)=e'2
(f-Id)(e'3)=(f-Id)(e'2)=0
donc e'3Ker(f-Id)²

(A-Id)=
0      1     0
1/2   1/2  -1/2
-1/2  1/2   1/2

donc e'2=(1 0 1)

(A-Id)²=
1/2  1/2  -1/2
1/2  1/2   -2
  0    0     0

donc e'3=(-1 1 0)

(A-2Id)=
-1      1     0
1/2  -1/2  -1/2
-1/2  1/2  -1/2

donc e'1=(1 1 0)

Donc: on doit trouver:
2 0 0
0 1 1   = P-1 A P
0 0 1
Mais je ne trouve pas ceci est je ne vois pas mon erreur

Avec:  

P= 1 1 -1
     1 0  1
     0 1  0

Pui en utilisant la formule:
P-1 = 1/detP * t(com P)

Det(P) = -2

P-1 = -1/2  1/2  0
         1/2   0   1/2
         1/2  1/2   0

La matrice que tu dois obtenir te donne effectivement immédiatement :

1°)



2°)



3°) e = endomorphisme identité.



On transmet cette équation dans le repère initial :



On trouve une infinité de solutions du type :



en particulier, si x = 0 :

Désolès, mais je ne comprends pas trés bien l'étape 3°)
(A-Id)²=
1/2  1/2  -1/2
1/2  1/2   -2
  0    0     0

x/2 + y/2 -z/2 = 0
x/2 + y/2 -2z = 0

on trouve: x = -y
           y = y
           z = 0
Donc e'3=(-1 1 0)
(c'est plutôt f l'endomorphisme identité et non e), c'est quoi le repère initiale, pouvez vous m'expliquer l'étape 3, svp, ce serai sympa, merci

Résous l'équation donnée par la matrice réduite :

f(e'₃) = e'₂ + e'₃

Donc (si tu préfères Id)

(Id - f)(e'₃) = - e'₂

Mais Id - f a déjà été utilisée pour chercher e'₂ : (Id - f)(e'₂) = 0

Donc, tu reprends ce système mais dans le membre de droite tu mets -e'₂

Ah oui, super votre méthode , moi on m'avais appris différemment, et de plus ça compliquait tout.

Pour la 3a). on sait que f o g = g o f
Et je dois montrer que P(f) o g = g o P(f)
Alors là je ne sais pas du tout comment procéder, P[X], mais c'est quoi P ? , pouvez vous me mettre sur la voie je ne sais pas par où commencer merci

Il faut montrer que si g commute avec f alors, g commute aussi avec tout polynôme en f.

Pour cela tu vas d'abord montrer (par récurrence) que g commute avec f => pour tout n, g commute avec fⁿ.

Quand vous dîtes que g commute avec f c'est à dire fog=gof
=> pour tout n, g commute avec f^n
Montrons par récurrence que pour tout n, g commute avec f^(n+1)

(vous avez utilisé f^n, car c'est un polynôme en f de degrés n ?)

f^(n+1)=f^n o f = f o f^n = f o g^n= g^n o f=g^(n+1)
Je pense que je suis entrain d'écrire n'importe quoi, désolés mais je ne vois pas du tout  

Tu connais les polynômes en "X" : aX³ + bX² + cX + d.

Un polynôme en "f" est l'endomorphisme : a.f³ + b.f² + c.f + d.e. (e = Id)
D'ailleurs si tu connais le théorème de Dunford tu connais forcément les polynômes d'endomorphismes.

Cela étant si g commute avec f (gof = fog) commute-t-il avec tout polynôme en f ?
Ce qui signifie : pour tout polynôme P a-t-on goP(f) = P(f)og.

Tu remarqueras qu'un polynôme étant constitué de puissances de f, il se pose tout de suite le problème :
a-t-on gofⁿ = fⁿog ?

Par hypothèse gof = fog soit : gof¹ = f¹og
Supposons : gofⁿ = fⁿog (I)
En composant (I) par f à droite :
gofⁿof = fⁿogof
gofⁿ⁺¹ = fⁿofog = fⁿ⁺¹og.

Ah d'accord, je comprends mieux maintenant ce qu'est P(f), en faite, c'est un polynôme en f.
Votre démonstration signifie: que g commute avec n'importe quel polynôme en f, (endomorphisme) de degré n, par exemple:
f²og=gof²
f^3og=gof^3

Pour la Q3b).
Montrons que Ker(f-2Id) est laissé stable par g:
Soit E2 un sous espace propre de Ker(f-2Id)
Soit xE2 signifie que: f(x)=2x

Démontrons que:
f(g(x))=2g(x)

f(g(x))=(fog)(x)=(gof)(x)=g(f(x))=g(2x)=2g(x)
donc g(x)E2
donc E2 est stable par g => Ker(f-2Id) est stable par g.

Montrons que Ker(f-Id)² est laissé stable par g:

On peut refaire la même démarche,(si ce que j'ai fait est bon bien sûr), en prenant :
soit E1 un sous espace propre de Ker(f-Id).....
Mais je pense que pour Ker(f Id)², ce n'est pas la même démarche, je ne sais pas comment procédé . Merci d'avance pour vos explications  

Bonjour.

A - Commutation

Ayant prouvé que :



il faut ensuite passer aux polynômes. Soit P(f) un polynôme en f :



Alors :




Donc : gof = fog => pour tout polynôme P, goP(f) = P(f)og.

B - Stabilité de Ker(f - 2Id)

Montrons que si gof = fog, alors Ker(f - 2Id) est g-stable.

D'abord que représente Ker(f - 2Id) ?
x € Ker(f - 2Id) <=> (f - 2Id)(x) = 0
Ensuite, que signifie être g-stable ?
Cela veut dire : x € Ker(f - 2Id) => g(x) € Ker(f - 2Id)

Démonstration bien détaillée :

x € Ker(f - 2Id)
=> (f - 2Id)(x) = 0. Composons les deux membres de cette dernière égalité par g
=> go(f - 2Id)(x) = g(0). Comme g(0) = 0 et comme f - 2Id est un polynôme en f, il commute avec g
=> (f - 2Id)og(x) = 0. Ce qui s'écrit aussi :
=> (f - 2Id)[g(x)] = 0
=> g(x) € Ker(f - 2Id)
Donc Ker(f - 2Id) est g-stable.

C - Stabilité de Ker(f - Id)²

On refait exactement le même travail en remarquant que (f - Id)² est aussi un polynôme en f, donc commute avec g.

Bonjour Raymond, merci pour vos détails, vous avez vraiment tout bien justifié et j'ai tout compris merci

Pour Ker(f-Id)² (j'ai fait pareil que vous)
x € Ker(f - Id)²
=> (f - Id)²(x) = 0. Composons les deux membres de cette dernière égalité par g
=> go(f - Id)²(x) = g(0). Comme g(0) = 0 et comme (f - Id)² est un polynôme en f, il commute avec g
=> (f - Id)²og(x) = 0. Ce qui s'écrit aussi :
=> (f - Id)²[g(x)] = 0
=> g(x) € Ker(f - Id)²
Donc Ker(f - Id)² est g-stable.

pour la question 3c). et 3d).
(a b)(1 1)    (1 1)(a b)
(c d)(0 1) = (0 1)(c d)

J'ai fait:
(a a+b)   (a+c  b+d)
(c c+d) = (c         d)

donc:
a=a+c
a+b=b+d
c=c
c+d=d           c=0 et a=d

Je ne vois pas du tout pouvez vous me mettre sur la piste, je vous en remercie d'avance.

Bonsoir.

Résumé :

est une base de R³ bien adaptée à la réduction de f.

En fait :

est une base de Ker(f - 2Id)

est une base de Ker(f - Id)²

Comme Ker(f - 2Id) est g-stable,

Comme Ker(f - Id)² est g-stable,

voilà pourquoi tout endomorphisme g laissant stable Ker(f - 2Id) et Ker(f - Id)² aura sur la base B' une matrice de la forme :



Mais en plus g commute avec f, donc on doit avoir :



Ceci te permettra de trouver des simplifications. Je trouve c = 0, a = d. (A confirmer).

Bonsoir, quand vous dîtes que e'2Ker(f-Id)², A t-on le droit ? Car en fait e'2Ker(f-Id)

Ah oui, je n'aurais pas trouvé, c'est assez subtil, merci.

Pour la d).
(2 0     0  )           (2  0      0  )
(0    a   a+c)     =    (0   a+b   c+d)
(0    b   b+d)           (0    b      d   )

2=2
a=a+b
b=b
a+c=c+d
b+d=d

je trouve:
b=0
a=d
on peut dire que a=d=1
mais c=?

Pour la question 4)
Définition d'un sous espace vectoriel F:
pour tout u,vF, u+vF
pour tout xR, uxF

Soit B et A F
AB=BA
pour tout x appartenant R, xAB=BAx donc AB=BA
Je sais que c'est faux, mais même avec la définition je ne vois pas, (désolé)

Pour sa dimension, on peut utiliser la question 3, donc je pense que la dimension de F est 3
Merci d'avance pour votre aide

J'ai fait une erreur de frappe dans B' en permutant b et c. Tu feras attention pour ta correction.

1°) Tu sais que Ker(u - Id) Ker(u - Id)², donc pas de problème.

2°) Tu as donc :



Question 4°)

Tu aurais pu faire le début de cette question, c'est très simple si l'on connait la définition des sous-espaces.

¤ Soit O la matrice nulle d'ordre 3.
A.O = O et O.A = O => O € F => F est non vide.

¤ Si B et C sont dans F et si u et v sont deux réels A.(uB + vC) = uAB + vAC = uBA + vCA = (uB + vC).A
Donc uB + vC € F

Conclusion : F est un sous espace vectoriel de M₃(R)

D'après tout ce qui précède, tout élément B de F est semblable à :



Tu connais certainement les 9 matrices de base de M₃(R) : les E_ij

Ici, tu peux écrire que :



Donc, dim(F) = 3.

Quand vous dîtes que dim(F)=3, vous le déduisez de:
B'=E11+a(E22+E33)+bE23 (j'ai un trou de mémoire)

Oui, F est engendré par les trois matrices E₁₁ ; E₂₂+E₃₃ ; E₂₃ qui sont indépendantes.

Ah oui, c'est comme des vecteurs de bases, sauf que c'est des matrices, ok, par contre, si ça ne vous dérange pas demain je reposterai des exercices (que je ferai là, car ils sont un peu plus facile). En faite, je fais beaucoup d'exercice car je passe mes partiels à la rentrée, et je n'ai pas de corrections. Car vous êtes le seul sur l'île à m'aider (sur tout ce qui concerne les matrices etc..), et à détailler parfaitement avec les bonnes justifications , encore merci   , de plus vous expliquez et justifiez mieux que mon professeur d'algèbre, je vous en remercie vivement
Bonne fin de soirée.

Bonjour, alors voici deux exercices. Voici les énoncés et je les fait.

Exercice 1:
Soit E un R-espace vectoriel de dimension n > 0, et u un endomorphisme de E non diagonalisable. On suppose que le polynôme P(X)=X^3-8X²+21X-18 est un polynôme annulateur de u.
1).a).Décomposer P en produit de facteurs irréductibles dans R[X] (on   cherchera  une racine évidente P).
   b).Déterminer, si possible, le polynôme minimal de u, P(m,u) 5on donnera  différentes possibilités si tel est le cas).
   c).Si dim E = 2, montrer qu'il n'y a plus qu'une seule possibilité pour P(m,u) et la préciser.
   d).En déduire le polynôme caractéristique de u.
2).Déterminer les matrices A de M2(R) telles que A^3-8A²+21A-18=(0).

Exercice 2:
Soit u l'application de R4[x] dans lui-même qui, à un polynôme P associe le reste de la division euclidienne de P par (X²-1)
De plus u est linéaire.
1). Montrer que u est linéaire (pas besoin de faire cette question, j'ai su là faire)
2).Montrer que u² = u. En déduire que u est diagonalisable.
3).Justifier pourquoi R4[X]=Ker(u)Ker(u-Id).
4).Déterminer (de préférence sans calcul) une base de vecteurs propres de u.

(Je vais sans doute me répéter, mais encore merci )

Exercice 1:
1a). racine évidente 2, donc:
    (X-2)(aX²+ bX +c)
    Par identification des coefficients des termes de même degrés: on trouve:
    P(X)=(X-2)(X²-6X+9)
    P(X)=(X-2)(X-3)²

1b).Comme dans l'énoncé, on nous dit que P(X) est un polynôme annulateur de u (et non le polynôme caractéristique), alors les différents candidats pour le polynôme minimal sont:
(X-2)
(X-3)
(X-3)²
(X-2)(X-3)
(X-2)(X-3)²
De plus on sait que E est non diagonalisable donc on peut déjà l'enlever:
(X-2)(X-3)
Et d'après l'énoncé on ne peut plus le déterminer, donc on a 4 candidats.

1c).Si dim E = 2 , il n'y a qu'une seule possibilité, pour le polynôme minimal qui est: (X-3)²
car (X-2) et (X-3) sont de dimension 1
car (X-2)(X-3)² est de dimension 3 obligatoirement, (car dim(X-2)=1, dim(X-3)²=2, la dimension (X-3) ne peut pas être de 1, sinon le polynôme minimal de u serait diagonalisable.

1d). Le polynôme caractéristique de u est donc:
Soit (X-3) ou (X-3)², mais comme on sait que E est non diagonalisable, le polynôme minimal est (X-3)²
2). Alors sur cette question je sèche, car on a pas de matrice A, on sait juste qu'on doit obtenir une matrice 2*2 (R), et que 3 est valeur propre de multiplicité 2 donc:

M2(R)= 2 *
             * 2
Mais je ne sais pas trouver *, pouvez vous m'aider ? (merci)

Exercice 1

1.b). u n'étant pas diagonalisable le polynôme minimal ne peut être que :
(X-3)² ou (X-2)(X-3)²

1.c) Attention : "car (X-2) et (X-3) sont de dimension 1" n'a aucun sens.

1.d) Les solutions sont toutes les matrices semblables à :

Pour 1.b).
pourquoi (X-2) et (X-3) ne peuvent pas être également candidats pour le polynôme minimal, car l'énoncé nous dit que P(X)=X^3-8X²+21X-18 est un polynôme annulateur de u, et non le polynôme caractéristique, donc il se peut qu'il y est  des facteurs parasites ?

Pour 1.c).
Si dim E = 2 , il n'y a qu'une seule possibilité, le polynôme minimal est: (X-3)²
car dim(X-2)=1,
    dim(X-3)=1
    dim(X-3)²=2
    (x-1)(x-2)² a pour dimension 3, car si dim(X-2)²=1, alors u serait diagonalisable, et d'après l'énoncé, il ne l'est pas.

2). Je me suis trompé dans ma matrice on doit obtenir:
3 *
* 3

Comment savez-vous que:
Les solutions sont toutes les matrices semblables à :
3 a
0 3                    

1.b Si X - 2 est polynôme minimal de A, alors A - 2I = O, donc A = 2I : matrice diagonale.

1.c Dim(X-2) ne veut rien dire. Un polynôme n'a pas de dimension dans ce que tu recherches.
Tu confonds avec Ker(A-2I).
Le polynôme minimal est à choisir parmi (X-3)² ou (X-2)(X-3)². Comme on est en dimension 2, son degré ne peut être que 2 au maximum.

2. Ta matrice n'est pas diagonalisable, mais son polynôme caractéristique (X - 3)² est scindé, donc elle est trigonalisable. Comme sa seule valeur propre est 3, elle est semblable à une matrice triangulaire de la forme que je t'indique.

Ah oui, c'est vrai, d'après le théorème de C.Hamilton, il aurait fallu que A=0 et non A=2I.
D'accord pour l'exercice 1, j'ai tout compris merci

Exercice 2:
2). Montrons que u² = u:
Soit P(X)= a X^4 + b X^3 + c X² + d X + e : associe le reste de la division euclidienne de P par X² - 1 est:  b X^3 + (c+a) X² + d X + e
u² = u
u² - u = 0
u (u - Id) = 0
P(X) = X (X-1) polynôme annulateur
u peut être 0 (endomorphisme nul)
u peut être Id (Identité)

Mais quel est le rapport avec P(X)= a X^4 + b X^3 + c X² + d X + e, je ne vois pas comment montrer que u²=u

Pour en déduire que u est diagonalisable:
Le polynôme minimal de P(X) qui est le polynôme caractéristique est Pmin(X)=X(X-1) car 0 et 1 sont valeurs propres de u, de plus il est scindé à racine simple donc u est diagonalisable.

3). D'aprés un théorème de Dunford:
    Comme 0 est valeur propre de u on a: Ker(u) et dim(Ker(u))=1
    Comme 1 est valeur propre de u on a: Ker(u-Id) et dim(Ker(u-Id))=1
    Et dim4=4 donc on ne pourra jamais avoir:
    R4[X]=Ker(u)Ker(u-Id)

Bonjour, heureusement que vous m'avez corrigé, car je ne voyais pas du tout cette exo comme ceci.
Ce qui remets en question ma question 1) dans laquelle il faut montrer que u est linéaire, voici comment je procéde:

Soit P(X)= a X^4 + b X^3 + c X² + d X + e : associe le reste de la division euclidienne de P par X² - 1 est:  b X^3 + (c+a) X² + d X + e

P(X)=a X^4 + b X^3 + c X² + d X + e
Q(X)=f X^4 + g X^3 + h X² + i X + j
(P+Q)(X)=(a+f) X^4 + (b+g) X^3 + (c+h) X² + (d+i) X + (e+j)

u(P+Q)(X)=(b+g) X^3 + (c+h+a+f) X² + (d+i) X + (e+j)
u(P)(X)=b X^3 + (c+a) X² + d X + e
u(Q)(X)=g X^3 + (h+f) X² + i X + j

donc u(P)+u(Q)=u(P+Q)
De même avec (P)(X)=.........
                     u(p)=.............=u(P)
Ai-je bon ?
(Car si j'ai bien compris P est un polynôme de degré au plus 4 ? )

Ensuite quand vous dîtes:

Tu es complètement passé à côté : le reste est soit nul, soit de degré < degré du diviseur.
Comme ici le diviseur est de degré 2, le reste est forcément du type R(X) = aX + b

Donc Pour tout P dans R₄[X],

P(X) = (X² - 1).Q(X) + aX + b , où a et b deux constantes qui dépendent de P. (I)

On peut d'ailleurs par curiosité chercher ces constantes a et b en fonction de P.

Dans (I) si X = 1 : a + b = P(1)
dans (I) si X = -1 : -a + b = P(-1)

On en déduit aisément que :



Finalement on aura :



1°) Linéarité de u

k et k' et deux réels, P et P' deux éléments de R₄[X].

(I) appliqué à P : P(X) = (X² - 1).Q(X) + aX + b = (X² - 1).Q(X) + u(P)
(I) appliqué à P' : P'(X) = (X² - 1).Q'(X) + a'X + b' = (X² - 1).Q'(X) + u(P')

Alors k.P(X) + k'P'(X) = (X² - 1)[k.Q(X) + k'.Q'(X)] + k.(aX + b) + k'.(a'X + b')

Comme k.(aX + b) + k'(a'X + b') est soit nul soit de degré < 2, c'est le reste de la division de k.P(X) + k'P'(X) par X² - 1 (unicité de l'écriture de la division).

Donc u(k.P + k'.P') = k.(aX + b) + k'.(a'X + b') = k.u(P) + k'.u(P')

2°) Décomposition des noyaux

¤ D'abord, soyons précis.
Tu as dû voir que R₄[X] est le R-espace vectoriel formé par les polynômes de degré inférieur ou égal à 4 et du polynôme nul.
Donc :

P € R₄[X] <=>

R₄[X] est donc un R-espace vectoriel de dimension 5 sur R.

La base canonique est :

¤ De même R₂[X] est un R-espace vectoriel de dimension 3.

¤ En particulier, les images par u des polynômes de R₄[X] étant du type aX + b, ils sont dans R₁[X] qui est un R-espace de dimension 2, de base (X,1).
Donc :

Im(u) = R₁[X] de dimension 2. Ceci signifie que le rang de u est 2

Ce n'était pas demandé, mais je pense que cela te fait rentrer dans le sujet.
Par ailleurs, par le théorème des dimensions, cela signifie que dim(Ker(u)) = 5 - 2 = 3. Résultat que nous retrouverons autrement.

¤ Le théorème de Runford te permet d'écrire :

R₄[X] = Ker(u) Ker(u - Id)

¤ P € Ker(u) <=> u(P) = 0 (polynôme nul).
Mais que représente u(P) : le reste dans la division de P par X² - 1.
Si ce reste est nul, cela veut bien dire que P est divisible par X² - 1.
Autre manière de voir le truc en reprenant (I) :
P(X) = (X² - 1)Q(X) + u(P)
Si u(P) = 0, il reste P(X) = (X² - 1)Q(X)
Par les degrés, Q(X) est forcément du type pX² + qX + r
En développant (X² - 1)Q(X) = p(X⁴ - X²) + q(X³ - X) + r(X² - 1).

Donc : Ker(u) = {p(X⁴ - X²) + q(X³ - X) + r(X² - 1) , p, q, r quelconques}

Comme X⁴ - X² , X³ - X , X² - 1 sont indépendants (degrés différents) on en déduit :

Ker(u) = Vec(X⁴ - X² , X³ - X , X² - 1) donc Dim(Ker(u)) = 3

Tu retrouves le résultat obtenu par Im(u).

¤ P € Ker(u - Id) <=> u(P) = P <=> P est du type aX + b.
Donc :

Ker(u - e) = R₁[X] donc dim(Ker(u - Id)) = 2

Ce qui m'étonne c'est que tu en sois au théorème de Runford et que tu aies tant de lacunes sur des résultats beaucoup plus élémentaires tels que les polynômes ou la linéarité.

Bonsoir Raymond
Désolè, je n'ai pas pu me connecter, ces jours (Meilleurs voeux pour cette année 2008 ).

Bonjour, en attente de votre réponse 02/01/2008 à 21:30, merci d'avance

Bonjour.

Tu as tous les vecteurs propres dans mon topic du 30 12.

Bonjour,

Oui, mais on doit trouver une base de vecteurs propres de u:
donc de u(P) = aX + b ??

Bonjour
Déterminer une base de vecteurs propres de u:
Ker(u) = Vec(X4 - X² , X3 - X , X² - 1)
est-ce ceci ?

Bonsoir.

Je t'ai déjà donné tous ces résultats (Topic posté le 30/12/2007 à 17:33)

¤ E₀ = Ker(u) = Vec(X4 - X² , X3 - X , X² - 1) donc Dim(Ker(u)) = 3

¤ E₁ = Ker(u - Id) = R1[X] donc dim(Ker(u - Id)) = 2

Je ne peux pas faire mieux.

bnjour voila j'ai essayer de trigonaliser cette matrice et je trouve le meme polynome caracteristique mais  j'ai commencé par calaculer
V1=(1,0,1) pour vp=1
v2=(1,1,0) pour vp=2

maintenant je cherche v3 telque (v1,v2,v3) soient libre

et je veux que ma matrice triangulaire soit de la forme

1 0 0
0 2 1=T
0 0 1

je pose donc
                                  
(A-I)V3=V2 je trouve comme solution
x=z+1
y=1
z
pourquoi ce systeme ne donne pas directement un V3 qui soit libre avec V1,V2?