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Différence symétrique et F2 espace vectoriel

Posté par
robby3 28-10-08 à 16:04

Bonjour tout le monde,
j'ai une petite question:
Soit E un ensemble et P(E) l'ensemble de ses parties
je dois montrer que la différence symétrique AB induit une structure de  \mathbb{F_2} espace vectoriel sur P(E).

ma question est: y'a t-il un moyen plus rapide que de vérifier les axiomes...

Merci d'avance!

Posté par
Camélia Correcteurre : Différence symétrique et F2 espace vectoriel 28-10-08 à 16:14

OUI

Soit F le {\bb{F}}_2-espace vectoriel des fonctions de E dans {\bb{F}}_2
Pour A dans P(A) soit \varphi_A:E\to \bb{F}_2 la fonction définie par \varphi_A(x)=\overline 1 si x\in A et \varphi_A(x)=\overline 0 si x\notin A.

Soit \varphi: P(E)\to F définie par \varphi(A)=\varphi_A. Vérifie que c'est une bijection et que \varphi(A\Delta B)=\varphi(A)+\varphi(B)

Posté par
robby3re : Différence symétrique et F2 espace vectoriel 28-10-08 à 16:28

\phi(A\Delta B)=\phi(A)+\phi(B) c'est trivial

pour l'injectivité,ça réside dans la fonction caractéristique.
pour la surjectivité sans doute aussi mais je le vois pas clairement

Posté par
Camélia Correcteurre : Différence symétrique et F2 espace vectoriel 28-10-08 à 16:51

Tu as une réciproque évidente: Si f est une fonction de E dans {\bb{F}}_2, en posant A=\{x\in E| f(x)=\overline 1} tu as f=\varphi_A

Posté par
robby3re : Différence symétrique et F2 espace vectoriel 28-10-08 à 17:01

alors là j'ai pas compris

\large f:E\longrightarrow \mathbb{F}_2 \\ x\longrightarrow f(x)=\varphi_A(x)

donc \rm \large f(x)=\bar{1} si x\in A (ie: si f(x)=\bar{1})(trivial)
et \rm \large f(x)=\bar{0} si x\notin A (ie: x\in E et f(x)\neq \bar{1})

je comprend la fonction f mais je ne comprend pas pourquoi ça nous aide?

Posté par
Camélia Correcteurre : Différence symétrique et F2 espace vectoriel 28-10-08 à 17:06

Ca montre que \varphi est surjective.

Posté par
apaugamre : Différence symétrique et F2 espace vectoriel 28-10-08 à 17:15

chaque partie correspond a une fonction caractéristique et chaque fonction a une partie
cela donne une bijection et sa reciproque entre l'ensemble des fonctions et l'ensemble des parties
dans cette bijection les lois de composition
et +
se correspondent
il n'y a plus qu'à deviner a quoi correspond la multiplication par un scalaire 0 ou par 1 d'une partie (par la bijection)par rapport à la multiplication par 0 ou par 1 de sa fonction caracteristique

Posté par
robby3re : Différence symétrique et F2 espace vectoriel 28-10-08 à 17:18

ah ok,en fait tout réside dans l'existence de l'ensemble A que tu évoques à 16:51...
autant pour moi!

donc au final \varphi est un isomorphisme,d'ou le F2 ev...
ok!

Merci Camélia!

Posté par
robby3re : Différence symétrique et F2 espace vectoriel 28-10-08 à 20:57

j'en reviens ici, y'a un truc que je n'ai pas bien compris:

Citation :
il n'y a plus qu'à deviner a quoi correspond la multiplication par un scalaire 0 ou par 1 d'une partie (par la bijection)par rapport à la multiplication par 0 ou par 1 de sa fonction caracteristique

>c'est exactement ça que je ne saisi pas...

si je veux généraliser,comment puis-je construire un isomorphisme d'espace vectoriel entre \mathbb{F}_2^E et P(E)
merci d'avance de votre aide

Posté par
apaugamre : Différence symétrique et F2 espace vectoriel 28-10-08 à 21:38

la multiplication par un scalaire 0
envoie tout sur vide
et la multiplication par un scalaire I
ne change pas la partie

Posté par
robby3re : Différence symétrique et F2 espace vectoriel 28-10-08 à 21:59

merci apaugam pour ton explication,
si j'en reviens à mon isomorphisme je le définis ainsi:

\rm \large \psi:\mathbb{F}_2^E:\longrightarrow P(E) \\ (x_1,...,x_n,...)\longrightarrow \{i\in E| x_i=1\} \\
mon soucis c'est le possible caractére infini des éléments...je ne sais pas si éléments ne devraient pas etre à support finis...
pouvez-vous m'éclairer s'il vous plait?

Posté par
robby3re : Différence symétrique et F2 espace vectoriel 30-10-08 à 13:37

une idée pour ma généralisation?

Posté par
Camélia Correcteurre : Différence symétrique et F2 espace vectoriel 30-10-08 à 15:57

Je ne peux pas dire que je comprends ce qur tu veux généraliser! {\bb{F}}_2^E n'est rien d'autre que l'ensemble des fonctions de E dans {\bb F}_2. Ce qui est sur, c'est que tu n'as aucune raison de supposer E dénombrable!

Posté par
robby3re : Différence symétrique et F2 espace vectoriel 30-10-08 à 17:49

en fait pour un ensemble E quelconque,je dois construire un isomorphisme d'espace vectoriel entre \mathbb{F}_2^E et P(E)
c'est pour ça que je parle de généralisation

Posté par
romure : Différence symétrique et F2 espace vectoriel 30-10-08 à 18:05

Bonsoir tout le monde ,

Robby, tu as regardé l'application \psi:\ X\in \mathcal{P}(E)\rightarrow \mathbb{1}_X\in \mathbb{F}_2^E ?

Posté par
robby3re : Différence symétrique et F2 espace vectoriel 30-10-08 à 18:08

Bonsoir Romu
effectivement,c'est pas mal et on s'embete pas avec des histoires de dénombrabilité ou non de E...
Merci Romu!
Merci à Camélia aussi!


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