bonsoir, j'ai un soucis avec la définition de la différentiabilité :
f: U -> F , U espace ouvert et F ev normé.
f(a+h)=f(a)+Df(a)(h) + o(h).
dans le cas où f: , j'ai compris que
Df(a)(h)=Df(a)*h et donc on peut écrire l'expression ci dessus avec les limites :
lim (f(a+h)-f(a))/h=Df(a) ça j'ai compris.
h->0
par contre pour f : ² :
f(a1+h1,a2+h2)=f(a1,a2)+Df(a1,a2)(h1,h2) +o(h)
pourquoi lorsqu'on veut écrire l'équivalence de cette égalité avec les limites :
lim (f(a1+h1,a2+h2)-f(a1,a2)-h1*df/dx(a1,a2)-h2*df/dy(a1,a2))/||(h1,h2)||
(h1,h2)->0
pourquoi est-ce qu'on divise par la norme ||(h1,h2)|| ? En effet h1 et h2 ont déjà été appliqués au numérateur non ?
merci d'avance pour votre aide
Bonjour,
C'est une variation "réelle" a laquelle on ôte une approximation de la variation qui est "linéaire" et bien sûr on divise par la variation des antécédent (pour "remettre à l'échelle") :
Sinon, on peut voir comme une approximation "affine" (linaire + cst) de .
Le numérateur va tendre vers quelque soit linéaire donc ce qui va la déterminer réellement c'est que ça tende vers en "remettant à 'échelle".
C'est la définition du o(h) = un truc qui tend vers 0 plus vite que ll h ll mais ici h = (h1, h2) d'iù le résultat.
Bonjour, merci pour vos réponses, mais je ne comprend pas trop ...
Sur on a Df(a)(h)=f'(a)*h, c'est pour cela qu'on peut diviser par h lorsqu'on passe à la limite, or ici Df(a)(h) reste en haut, mais en divise quand même par la norme de h (pourquoi la norme) ?
Dans le cas réel on divisait pas par la norme ...
dsl j'ai un peu la tête dure
Il faut faire attention a la définition :
f est dérivable en a SSI il existe une forme linéaire continue Df(a) et une fonction o(h) qui tend vers 0 lus vite que h telle que
f(a+h) = f(a) + Df(a)(h) + o(h) , si Df(a) est donné tu as donc différentiabilité SSI le o(h) tend vers 0 plus vite que h
ce qui signifie exactemet o(h)/ llh ll tend vers 0 .
D'accord, je pense avoir compris, mais on est d'accord que dans le cas d'une fonction de dans on a :
o(h)=f(a+h)-f(a)-L(h)=f(a+h)-f(a)-f'(a)(h)=f(a+h)-f(a)-f'(a)*h
et donc on devrait avoir :
lim |o(h)|/|h|=0
h->0
lim |f(a+h)-f(a)-f'(a)*h|/|h|=0
h->0
est ce n'est pas équivalent à lim (f(a+h)-f(a))/h=f'(a)
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