Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Master AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Master
Partager :

Différentielle du déterminant

Posté par
fade2black 08-01-09 à 12:40

Salut à tous,

dans un exo, je dois calculer la différentielle du determinant. J'ai la correction, mais je ne comprends pas une étape !

On écrit que si AGLn(R), alors det(A+H)-det(A)=det(A)*[det(In+A-1H)-1].

Puis le prof écrit que det(In+A-1H)=1+tr(A-1H)+o(H). C'est cette égalité que je ne vois pas... J'ai trouvé un lien qui l'explique mais c'est très très long ; si mon prof l'a fait en une étape c'est qu'il doit y avoir une façon facile de le "voir", même si on ne le démontre pas rigoureusement.

Un peu d'aide s'il vous plaît...?

Posté par
Camélia Correcteurre : Différentielle du déterminant 08-01-09 à 14:11

Bonjour

Directement c'est effectivement très long. Le bon début de l'exercice est de montrer en utilisant le fait que le det est une application n-linéaire des colonnes et en utilisant les résultats sur la différentielle des n-linéaires, que la différentielle au point I est justement d(det)_I(H)=tr(H)

Posté par
fade2blackre : Différentielle du déterminant 08-01-09 à 14:18

Merci Camelia

Non mais sinon j'ai compris ce qu'ils explique sur le lien que j'ai posté, mais c'est long ; je voulais juste savoir si il y avait un moyen "immédiat" de s'en rendre compte (ce que laissait sous entendre ma correction puisqu'il n'y avait pas d'étape). Merci de ta réponse

Posté par
Camélia Correcteurre : Différentielle du déterminant 08-01-09 à 14:20

Non, je ne vois rien d'immédiat!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Différentielle du déterminant 08-01-09 à 14:56

Je crois qu'en choisissant une norme convenable sur \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) on peut montrer que :

5$\blue\fbox{\det(A+H)-\det(A)=\Bigsum_{j=1}^{n}\det(A_1,..,A_{j-1},H_j,A_{j+1},..,A_n)\;+\;o(||H||)}

les A_j , H_j désignant les clonnes respectives des matrices A et H . sauf erreur bien entendu

Posté par
Rodrigore : Différentielle du déterminant 08-01-09 à 15:31

On peut y arriver beaucoup plus rapidement en calculant les derivées partielles suivant les vecteurs de la base canonique Eij.

En effet det(1+tEij)-det 1=0 pour i different de j et t pour i=j on en deduit det(1+h)=1+\sum_{i=1}^n h_i +o(h)=1+tr(h)+o(h)

Posté par
fade2blackre : Différentielle du déterminant 08-01-09 à 16:06

Ah oui, effectivement

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Différentielle du déterminant 10-01-09 à 00:05

L'application 3$\fbox{\;H\to\Bigsum_{j=1}^n\det(A_1,..,A_{j-1},H_j,A_{j+1},..,A_n)\;} étant linéaire c'est la différentielle de l'application déterminant au point A

or si (e_1,..,e_n) est la canonique de \mathcal{M}_{1n}(\mathbb{R}) on a H_j=\Bigsum_{i=1}^nh_{ij}e_i et par n-linéarité du déterminant on voit que :

3$\fbox{D\det(A).H=\Bigsum_{j=1}^n\Bigsum_{i=1}^nh_{ij}\det(A_1,..,A_{j-1},e_i,A_{j+1},..,A_n)=\Bigsum_{j=1}^n\Bigsum_{i=1}^nh_{ij}\Delta_{ij}}les \Delta_{ij} étant les cofacteurs de la matrice A

d'où l'application déterminant est différentiable sur \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) de différentielle en A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) la forme linéaire de \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) :

4$\blue\fbox{H\to <com(A)|H>=tr(^tcom(A)H)} sauf erreur bien entendu


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !