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Dilatation
Bonsoir,
je suis en train de faire un exercice sur les dilatations et on me demande de prouver la chose suivante :
est une dilation de
, un
-ev
il existe un scalaire k de
et une base de
dans laquelle la matrice de u est
.
Dans la preuve, il est juste dit de considérer où
est un vecteur qui n'est pas dans
et vérifie
.
Je ne saisi pas trop 
bah déjà l'intersection vaut {0}...suffit de prendre un vecteur dans chacun des sous-espaces,dire ce que ça veut dire...et c'est bon.
Ensuite,si on ne sait rien sur la dimension de E...bah faudrait montrer que tout élément de E s'écrit comme la somme de tels éléments...
mais de toute façon, une dilatation d'un K-ev, c'est juste une application sur un hyperplan H (ici Ker(u-Ide)) selon une droite D(ici K.xo) et de rapport k.
De sorte qu'en fait la restriction de ton application à son hyperplan ce soit l'identité et que la restriction par rapport à sa droite ce soit une homothétie de rapport k...donc ça paraissait assez naturel de considérer E comme cela.
En fait pour moi ton équivalence,c'est une définition.
Salut. Oui, j'avais déjà prouvé que l'intersection est réduite à 0. Disons que E est un espace vectoriel de dimension n. Ce qui me bloque, c'est justement l'écriture de tout vecteur de E comme somme d'un élément de chacun de ces deux ensembles.
J'avais pensé à écrire vu la condition
. Mais le vecteur
n'est pas dans
, si je ne me trompe pas.
si E est de dimension n,c'est trivial...
l'intersection est réduit à {0} et la dimension de Ker(u-Ide) c'est n-1 vu que c'est un hyperplan et que K.xo est une droite(donc de dimension 1)
l'affaire est réglée.
Tu utilises quelle propriété
Celle vu en td notamment...l'intersection vide et l'égalité des dimensions...
Ma définition est la suvainte :
Une dilatation de E, -ev de dimension finie, c'est un endomorphisme
de
tel que
soit un hyperplan de
et qu'il existe
et
avec
.
Je ne saisi toujours pas pourquoi ! L'intersection vide, ça c'est bon. Mais pourquoi si on se donne un
, on va pouvoir l'écrire
avec
?
non,mais pour montrer une somme directe, tu montres l'intersection vaut singleton O et ensuite,soit tu montres que tout élément peut s'écrire comme la somme de deux autres éléments...SOIT,tu montres l'égalité des dimensions, c'est ce que j'ai tenté de t'expliquer ici.
sauf erreurs!
Bonjour
Ben h est un hyperplan,donc il a un supplementaire de dimension 1. Or sur H, u est l'identité. Comme x0 est non nul et u(x0)= k.x0 avec k
1, x0 n'est pas dans H . Donc il est dans un supplémentaire de H, qui est donc une droite vectorielle par definition de l'hyperplan. Donc avec une base de H et x0, tu as une base de E.
Non?
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