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Dimension d'espace propre
Bonsoir,
Je galère pour résoudre le problème suivant :
Soient A et 8 de matrice Mn(k), où k est un corps, n 
1. On suppose que la matrice A est inversible.
Soit 
une valeur propre de AB et BA. Montrer que la dimension de l'espace propre associé à pour AB coïncide avec la dimension de l'espace propre associé à pour BA.
En fait je ne ne vois pas par où commencer ?
Quelqu'un pourrait me donner une indication, un point de départ, please ?
Oh bon sang. j'ai pensé à la similitude mais... bref.
Donc leurs semblables sous forme de Jordan sont égaux. Ils ont la même valeur propre, . Donc la dimension de l'espace propre associé à pour AB est égale à la dimension de l'espce propre associé à pour BA.
Juste ?
Matrices de Jordan ou pas, j'ai seulement utilisé l'hypothèse selon laquelle est inversible. Cela m'a permis de conclure à l'égalité des polynômes caractéristiques respectifs de
et
. C'est tout.
A +
Et si AB est semblable à une matrice diagonal.
Du fait que le polynôme caractéristique soit le même pour les deux matrices semblables. Il en résulte que la matrice semblable à BA est aussi diagonal avec les mêmes coefficient sur la diagonal, ses valeurs propre ?
C'est le sujet de ma deuxième question.
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