Inscription / Connexion Nouveau Sujet
dimension d'un idéal à gauche de L(E)
Bonjour, ce message étant mon premier, je présente (très) rapidemment :
Je suis étudiant en MP*, passionné de mathématiques et actuellement confronté à un problème.
On considère un espace vectoriel E de dimension finie.
Pour tout sous-espace vectoriel F de E, on note I[F] = {f
L(E) / Ker f
F}.
Je dois trouver la dimension de I[F].
Voilà pour l'instant mes reflexions éparses concernant le problème :
J'ai vérifié qu'il s'agissait d'un idéal à gauche de L(E), et donc par là d'un sous-espace vectoriel de L(E) (avec les lois + et o). Je note n = dim E et q = dim F (on peut donc trivialement majorer dim I[F] par n²).
Sinon, en tentant de transformer I[F] en quelque chose de plus aisé à manipuler, j'ai démontré que I[F] = L(E)o g, en notant g l'endomorphisme de E tel que F = Ker g. (Ou, pour l'écrire mieux,
I[Ker g] = {fL(E)/
hL(E), f = h o g}.
En "inventant" une base de L(e) (e[1], e[2],...,e[n²]), je peux construire une famille (e[i]og) indexée par [1,n²] qui soit génératrice de I[F], cependant je n'ai pas réussi à voir comment en déduire une base de I[F]. Je n'ai pas encore tenter d'étudier les conditions de liberté d'une sous-famille de cette famille, mais je doute que ça puisse mener quelque part.
N'ayant pas trouvé de base, j'ai tenté l'autre méthode usuelle : Trouver un isomorphisme entre I[F] et un sev de dimension connue. Sans succès, ne sachant pas où je souhaite arriver...
Je remercie d'avance ceux qui pourront guider un peu mes réflexions, me dire dans quelle direction chercher ou me donner quelques indices. Si possible, ne dévoilez pas la solution en bloc, je souhaites quand même réflechir à la question par moi même aussi =)
Bonjour et Bienvenue sur l'
Le mieux est d'essayer de penser en termes de matrices. Tu peux choisir d'abord une base de F ayant q éléments, et la compléter. On n'y touche plus... A quoi ressemble la matrice d'un endomorphisme qui est dans l(F)?
Bonjour, et merci pour cette réponse rapide.
J'ai remarqué au passage, ce qui est évident mais que je n'avais pas regardé avant, qu'on peut minorer dim I[F] par q².
Suivant l'idée que tu décris, je considère une base (e[1]...e[q]) de F, je la complète en une base de E.
La matrice d'un endomorphisme étant dans I[F] s'écrit comme le produit de la matrice d'un endomorphisme de E et de la matrice de l'application g définie telle que F = Ker g... Faut-il ensuite calculer ce produit puis effectuer des manipulations sur la matrice obtenue ?
Ah non, il n'y a rien à faire... La matrice d'un endomorphisme de l(F) a ses q premières colonnes nulles et n'importe quoi ailleurs... donc en fait c'est une matrice n
(n-q) complétée par des 0.
J'avais remarqué ça en effet =) (après avoir posté le message) On a donc dim I[F] = nx(n-q)... Merci beaucoup pour ton aide.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac