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dimension d'un K-ev
bonsoir!!
soit K = Q,R,ou C
voilou je travail sur le K -ev des formes n-lineaire antisymetrique sur Kn noté An(Kn)
on me demande de montrer que cet e-v est de dimension 1 sur K..
je ne vois pas tro comment commencer!
une idée?
Bonsoir.
Tu peux commencer par montrer que si la famille
n'est pas libre.
Pour ceci il suffit de montrer que si il existe
et
avec
tels que
.
Ensuite il est clair qu'une telle forme est un multiple du déterminant de , mais, à part un calcul bestial, je ne vois pas de démonstration.
Mais il y en a sans doute.
alors j'ai montrer que (An(Kn),+An(K^n),.An(K^n)) est un K-ev avec:
+An(K^n) : An(Kn) 
An(Kn) 
An(Kn)
(f,g) 
f+An(K^n)g
ou f+An(K^n)g est definie par 
M 
(Kn)n , on a:
(f+An(K^n)g)(M) = f(M) +K g(M)
.An(K^n) : K An(Kn) An(Kn)
(
,f) .An(K^n)f
ou .An(K^n)f est definie par M (Kn)n, on a :
(.An(K^n)f)(M) = .Kf(M)
g montrer que ct bien un K ev et maintenant je galere pour trouver que sa dimension sur K est 1...
il faut montrer que il existe f An(Kn) tel que g An(Kn), 
K tel que g = .An(K^n) f cest bien ca?
cest a dire M (Kn)n, on a g(M) = ( .An(K^n) f)(M)...
est ce que c'est bien cela quil faut prouver et si oui,
comment faire ! help ^^
Soit une base de
telle que
Il est évident, par n-linéarité, qu'il en existe une.
Ensuite il faut montrer, ce qui est un calcul assez compliqué, que, si est une autre base, alors
.
je ne vois pas d'autre méthode, mais j'espère qu'il en existe.
G trouver cette preuve dans le cours d'un de mes profs mais bon j'y comprend pas grand chose.. si quelqu'un peut m'eclairer?
Voici ce qu'elle dit!
Que l'ensemble An(Kn) soit un K-espace vectoriel est direct ("a verifier"). Reste a prouver que cet espace est de dimension 1. Soit f An(Kn), et {e1,..., en} la base canonique de Kn. Si σ est une permutation des indices {1,..., n}, on a f(eσ(1), · · · , eσ(n)) = 
(σ).f(e1, · · · , en), ou (σ) est le nombre de permutations de deux indices seulement qui permettent d'´ecrire σ.
(ici deja jcomprend pas moi j'aurai plus dit f(eσ(1), · · · , eσ(n)) = (-1)(σ).f(e1, · · · , en)).
On en d´eduit, en utilisant la n-linearite de f, et en ecrivant:
cj = ai,j.ei, que:
f(c1,...,cn) = a
(i),1...a(i),n.f(e(1),...,e(n)) = f(e1,...,en) a
(i),1...a(i),n.().
En conclusion, une fois fixee la valeur de f sur la base {e1, · · · , en}, on connait la valeur de f partout sur (Kn)n.
voilou ben jespere que ca vous parlera plus qua moi ^^ j'attend vos explication bonne soirée!
En gros c'est ce que j'avais à l'esprit.
(ici deja jcomprend pas moi j'aurai plus dit
Tu as raison si
Sinon la démonstration est correcte mais peu détaillée.
Et je dois bien dire que l'idée de l'écrire me fatigue déjà.
g montrer que ct bien un K ev et maintenant je galere pour trouver que sa dimension sur K est 1...
il faut montrer que il existe f'
An(K^n) tel que g' An(K^n), K tel que g' = .An(K^n)f' cest bien ca?
cest a dire
M (Kn)n, on a g'(M) = (.An(K^n) f')(M) = .K f'(M) ...
est ce que c'est bien cela quil faut prouver et si oui,..
don si ce que g ecrit precedement tien la route on a dans ton dernier exemple:
M = a c la matrice
b d
g' = f
f' = det
et
= f (e1,e2)..
donc pour la preuve de A2(K2) ca me parait suffisant pour dire que c'est de dimension 1..
pour An(Kn) en faisant le mm type de calcul on trouvera egalement f' = det et
= g'(e1,...,en)
je pense avoir compris le principe non?
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