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Dimension d'un sous espace caractéristique
Bonjour,
n'existe t-il pas de preuve expéditive pour montrer que la dimension d'un sous espace caractéristique SEC(f,
) est égal à la multiplicité de dans le polynôme caractéristique ?
Merci d'avance pour votre aide !
Bonjour,
le ss espace caractéristique n'a pas toujours pour dimension l'ordre de multiplicité de la racine... elle lui est inférieure ou égale
Moralité il n'y a pas de "méthode" expéditive" ! il faut regarder au cas par cas et chercher le noyau correspondant...
MM
Tu es sûr de ton coup ? Ok, la dimension du sous espace propre est inférieure ou égale à la multiplicité de la valeur propre dans le polynôme caractéristique, mais je suis presque sûr que la dimension du sous espace caractéristique est égale à cette multiplicité.
prends l'endomorphisme de R²:
u(i)=i
u(j)=i+j
une seule VP d'ordre 2
ss espace caractéristique de dimension 1
et hop !
MM
Dans ton exemple, le polynôme caractéristique est (X-1)², et le sous espace caractéristique SEC(u,1) est défini par Ker[(u-Id)²]. Or (u-Id)² est identiquement nul, son noyau est donc de dimension 2. Donc dim[SEC(u,1)]=2="multiplicité de 1 dans le polynôme caractéristique".
En revanche, le sous espace propre SEP(u,1) est bien de dimension 1.
Bonjour,
Je serais très intéressée par une preuve (même non expéditive 
)
En effet toutes celles que j'ai pu trouver suppose que le polynôme caractéristique est scindé...
Merci
Mais la preuve utilise le fait que E est égal à la somme directe des sous-espaces caractéristiques de f, ce qui est prouvé uniquement dans le cas où le polynôme caractéristique est scindé...
Ce qui transfère mon problème : est-ce que E est égal à la somme directe des sous-espaces caractéristiques de f lorsque le polynôme caractéristique de f est non scindé ?
Le problème c'est qu'on ne peut pas vraiment définir les SEC quand le polynôme caractéristique n'est pas scindé. Regarde par exemple, si le polynôme caract est X²+1 et qu'on travaille dans R. Impossible de définir de SEC. Donc E ne sera certainement pas somme directe des SEC...
Maintenant, le seul problème intéressant, c'est si le polynôme caract est "mi-scindé", je veux dire s'il comporte des facteurs irreductibles du 1er degré X-a_i, ET des facteurs irred de degré >1. Alors dans ce cas là, est-ce que les SEC associés aux a_i ont une dimension égale à la multiplicité des a_i dans le polynôme caractéristique...
fade2black, si tu essayais de raisonner, cela t'aiderait !
dans mon exemple, il est exact que 1 est vp d'ordre 2
mais u-Id n'est pas vraiment nul !!!!!
(u-Id)(i)=0 et (u-Id)(j)=i
donc le ss espace propre de 1 n'est pas de dimension 2 mais de dimension 1
Point à la ligne et pis c'est tout !
MM
excuse moi Fade2black...
je croyais que tu parlais du ss espace propre, c'est pour cela que je trouvais ta remarque fausse de façon évidente ...
pour ce qui est du problème des polynômes non scindés, on peut peut-être se plonger dans un corps de décomposition (voire carrément une clôture algébrique)
fade2black, si tu essayais de raisonner, cela t'aiderait !
attends, j'avais mal lu ta réponse !
Oui, avant de t'enflammer, tu aurais pu t'assurer d'avoir bien lu...
Le sous espace caractéristique d'un endomorphisme f associé à la valeur propre v est par définition le noyau de (f-v.Id)^m, où m est la multiplicité de v dans le polynôme caractéristique. J'avais bien l'impression que tu confondais avec le sous espace propre, c'est pour ça que j'en ai parlé à la fin de mon message de 17h56.
(non, non, je suis pas inquiet, mais cela m'énerve de me faire avoir sur ce que je critique parfois !!!!
)
cela dit je réfléchis à ton problème de "mi-scindé" qui est intéressant mais je vois pas pour l'instant...
Pour moi un polynôme scindé était un polynôme dont le degré est égal à la somme des multiplicités de ses racines ; donc je considérais (x-1)(x²+1) comme n'étant pas scindé dans 
(puisqu'étant de degré 3 et n'ayant qu'une racine de multiplicité 1).
N'y aurait-il pas moyen de s'en sortir en considérant un sur-corps dans lequel le polynôme serait scindé ?
Si j'ai bien compris ceci 
, il existe toujours une extension de corps dans lequel le polynôme est scindé, on pourrait alors appliquer le résultat ?
(Je raconte sûrement des bêtises, je dois avouer que mon niveau en algèbre est assez faible...)
En fait on s'en moque un peu beaucoup d'avoir ou non un polynôme scindé. Tout ce dont on a besoin c'est de savoir que le polynôme caractéristique est de degré la dimension de l'espace et ça c'est vrai tout le temps.
On prend f:E->E un endomorphisme, P(f) son polynôme caractéristique et l une racine de P(f). (Si P(f) n'a pas de racine, ben l'exo ne concerne pas f donc ya rien à faire.)
SEC(f,l) est stable par f vu que c'est un truc de la forme F=ker(f-l*Id)^(m_l) et si on note u l'endomorphisme induit, on a que P(u)=P(f). (c'est complètement évident mais je peux esayer de détailler si tu le souhaites). Et donc on a deg(P(u))= dim(ker(f-lId)^(m_l)) d'une part et deg(P(u))=m_l d'autre part.
Le "P(u)=P(f)" me rend perplexe. P(u) est de degré dim(E) et P(f) est de degré dim(SEC(f,l)). Serait-ce P(u)=(X-l)^m_l ?
Du moment qu'on sait que F est f-stable, on peut définir un endomorphisme u de F, et on sait que le polynôme (X-l)^m_l est annulateur de u. Le polynôme caractéristique de u est donc de la forme (X-l)^k, mais comment trouver ce "k" ? Toi tu dis que k=m_l, mais je ne vois pas comment. Par contre, je suis d'accord que k est la dimension de F.
Bonjour,
Effectivement la preuve d'Ayoub marche, mais travailler dans une cloture algébrique marche aussi, Il suffit de considerer sur lequel ton endomorphisme se scinde et possède le meme polynome caractéristique, l'espace devient somme directe des sous espaces carractéristiques et comme evidemment
(et que le produit tensoriel commute aux sommes directes...)
Houla, je ne sais rien du produit tensoriel, c'est vrai que je demandais une preuve expéditive, mais là ça l'est un peu trop ^^
Je préfére donc la preuve de Schumi, mais je ne comprends pas pourquoi P(u)=(X-l)^m_l.
Le polynôme caractéristique de u est donc de la forme (X-l)^k, mais comment trouver ce "k" ? Toi tu dis que k=m_l, mais je ne vois pas comment. >> ?! Trigonalise u sur F si t'es pas convaincu. k peut difficilement valoir autre chose que m_l vu la définition qu'on a de F...
Bonjour,
Désolée je suis un peu longue à la détente mais je n'ai toujours pas compris la preuve
Si je trigonalise u sur F, je montre que P(u)=(l-X)^p où p=dim F
F=Ker(f-l*Id)^(m_l)=Ker(u-l*Id)^p
C'est de ça qu'on déduit que p=m_l ? Comment ?
Méthode très bourrine alors pour se convaincre que ça peut pas être autre chose:
Prends la matrice de f dans la base canonique, disons M. Trigonalises la dans une clotûre algébrique. Compare le nombre de l sur la diagonale à la dimension du sec(f,l). Compare par ailleurs le nombre de l sur la diagonale à la multiplicité de l en tant que racine du poly caractéristique de f.
En fait j'ai réussi à me convaincre avec un autre argument.
Je reprends depuis le début (comme ça ça clarifie les choses dans ma tête à moi aussi ^^).
u un endomorphisme d'un ev E de dim n. On note E_i les sous espaces caractéristiques associés aux valeurs propres l_i. P_u le polynôme caractéristique de u, où les racines l_i ont une multiplicité notée m_i.
Chaque SEC E_i est stable par u, donc u induit un endomorphisme v sur E_i. Le polynôme (X-l_i)^m_i est un polynôme annulateur de v (par définition de E_i). Donc le polynôme caractéristique de v est du type P_v=(X-l_i)^k. Or le degré du polynôme caractéristique est égal à la dimension de E_i, donc P_v=(X-l_i)^dim(E_i).
On sait de plus que P_v divise P_u, donc dim(E_i)
m_i.
Comme E est somme directe des E_i, 
dim(E_i)=n.
Comme le degré de P_u est n, m_i=n.
Grâce à ces trois dernières lignes, on conclut que dim(E_i)=m_i.
Des méthodes bourrines j'en ai trouvées 
(vivent les matrices...)
Mais j'aurais bien aimé comprendre la preuve "fine" (histoire de ne pas avoir l'impression d'être passée à côté d'un résultat important qui permet de comprendre la preuve).
Enfin, merci quand même peut-être qu'un jour j'aurais les outils pour comprendre tout ça 
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