Bonjour

Et si tu essayais de voir ce qui se passe si la dimension était égale à 1 ?

Comme c'est un sev, il admet des supplémentaires.
comme on prend dim=1, il faut que la dimension du supplémentaire soit égale a n²-1.

sinon j'ai une autre idée
: M ->MA-AM est un endomorphisme de Mn(K)
Si j'essaye de déterminer les matrices qui commutent avec les matrices élémentaires j'aboutirai a quelques choses? j'ai gribouillé 2-3trucs sur mon brouillons mais je ne trouve pas que ca m'avance.

Bizarre en dimension , les matrices commutent clairement donc se serait une droite vectorielle.

Bonjour

Ce qui est sur c'est que I et A sont dans ton sous-espace. Si I et A sont liées, A est une homothétie, et dans ce cas toutes les matrices commutent avec A. Si I et A ne sont pas liées, tu as déjà la dim de ton sous-espace supérieure à 2.

Camélia

Si j'ai compris ce que tu as écris, il me suffit de vérifier que A et I sont libres pour que la dimension du sous espace soit supérieure ou égale a 2.

j'avoue que c'est pas évident de montrer que A et M sont libres.

Bonjour,

Camélia connais-tu une démonstration de la dimension du commutant dans un cadre général, A pas forcément diagonalisable ...

Bonjour Cauchy

Je crois me souvenir qu'il s'agit des P(A) où P est un polynôme, donc ce serait le degré du polynôme minimal.

Je vais essayer de retrouver la demonstration...

Dans le cas diagonalisable c'est m1²+...mr² où m_i est la multiplicité de la valeur propre.

Le degré du polynôme minimal tu es sûre vu que l'identité c'est n² la dimension?

personne d'autre n'a une idée?! je suis complètement embourbé

>brocoli J'ai complètement résolu ton problème puisque j'ai envisagé tous les cas.

>Cauchy Tu as raison dans le cas diagonal, donc je dois dire des bêtises. J'essayerai de reconstituer, mais je suis pratiquement sûre que les P(A) jouent un rôle.

En y réfléchissant dans le cas d'un endomorphisme cyclique le commutant c'est exactement les polynômes en la matrice qui est un ev de dimension le polynôme minimal.

Après je pense qu'on peut utiliser la décomposition de Frobenius pour mettre la matrice sous forme de blocs compagnons et en déduire quelque chose je vais regarder plus précisément.

>Cauchy J'en suis là moi aussi, et je ne retrouve pas l'argument de départ (je ne suis pas à Paris et l'éloignement de mes archives met bien en évidence la diminution de mes capacités...) Toujours est-il que pour une homothétie le polynôme minimal est de degré 1 et le commutant de dimension n²!

ça me semble bien compliqué
en dim finie ne serait-il pas plus judicieux de regarder les dim de ker et im

...suite:
si A est une homothétie alors A commute avec toute matrice donc ton ev = Mn(K) dont la dim est n²
si A n'est pas une homothétie alors A et I sont libres (comme l'a dit Camélia (bonjour Camélia.... et aussi les autres))
donc la dim est toujours >=2