Salut,
tout d'abord il faut bien faire la différence entre le Ker et l'image !
Le ker est dans l'espace de départ et l'image dans l'espace d'arrivé.
&Seulement voilà, quand on a affaire à un endomorphisme, l'espace d'arrivée et de départ sont les mêmes, on peut donc comparer l'image et le Ker, et en particulier, leur intersection n'est pas nécessairement triviale...(elle ne l'est que dans le cas des projections). Avec ça et en écrivant les définitions de Ker et d'image tu devrais t'en sortir.
La seconde question est plus vache, et en particulier, l'existence d'un endomorphisme dont le carré est -Id n'existe qu'en dimension paire d'après mes souvenir.
Pour la seconde donc il faut bien penser au résultat que l'on obtient, -Id est un isomorphisme, tu devrais donc avoir des renseignements sur la dimension de l'image avec le rang d'un endomorphisme.
En espérant t'avoir aidé sans l'avoir fait !
hilikus

Bonjour

Commence par montrer que

Bonsoir Camélia,

Merci pour ton aide.

Est ce que l'on peut donc dire cela :

Soit y appartient Im(fOf) (fonction composé) , il existe donc x de E tel que f(f(x))=y ainsi y est l'image de f(x) et y appartient Im(f) donc Im(f^2)Im(f).

Est ce bon ?

Oui, c'est bon. Donc ça prouve que

Merci beaucoup pour ton aide Camélia.

par contre, je ne sais pas non plus par ou commencer pour demontrer que Dim(Im(f))2 en supposant que f²= -Id_E.

Est ce que l'on peut dire cela : d'une part, à la question précédente, dim(Im(f²))dim(Im(f)), d'autre part, puisque f²= -Id_E, alors Im(f²)=-Id_E alors Dim Im(f²)= Dim -Id_E et Dim -Id_E2 alors Dim(Im(f))2 ?

Oui c'est ça à un détail près, ne confonds pas la dimension d'un espace et l'image d'une application dans tes notations, Im(f2)=-IdE ne veut pas dire grand chose !

Comme , on a . Quelqu'un a déjà fait remarquer que si dim(E)=1, (c'est-à-dire si E=R) il n'existe pas d'application telle que Donc