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dimension , surjectivité , injectivité
Bonsoir , quand une fonction est injective , la dimension de l'espace de départ est égal à la dimension de l'espace d'arrivée et quand elle est surjective , la dimension de l'espace de départ est inférieure ou égal à la dimension de l'image c'est ça ?
merci
Bonjour,
tout d'abord pour tout ça ait un sens il faut que ta fonction soit linéaire et que tes espaces soient des espaces vectoriels.
Ensuite si la fonction est injective on peut seulement dire que la dimension de l'espace d'arrivée est plus grande que celle de l'espace de départ.
Pour la surjectivité c'est l'inverse et donc pour la bijectivité il faut l'égalité.
pour si je prends le theoreme de rang : dim kerf + rg f = dim E
Quand c'est injectif , dim kerf = 0 , donc dim rg f ( donc dim d'arrivée ) = dim E , espace de départ...
C'est l'inverse,
si f est injective, l'espace d'arrivée est de dimension plus grande que l'espace de départ.
si f est surjective, l'espace d'arrivée est de dimension plus petite que l'espace de départ.
Attention, quand tu dis que rg(f) est la dimension de l'espace d'arrivée c'est plus ou moins vrai:
f va de E dans F disons.
Il se peut que im(f) ne soit pas F au complet.
Rg(f) mesure la dimension de im(f), pas la dimension de f.
Par exemple
R^2->R^3
(x,y)->(x,y,0)
cette application est de rang 2, donc dim im(f)=2 et pourtant dim(R^3)=3
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