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dimensions et sous espaces vectoriels
Bonsoir!
Soit W un K-espace vectoriel.Il faut montrer que les affirmations suivantes sont équivalentes:
1- W a une dimension finie
2-pour chaque suite descendante de sous espaces vectoriels dans W: V0
V1V2... il existe un j
0 avec Vj=V(j+1)=V(j+2)=...
3-Pour chaque suite montante de sous espaces vectoriels dans W: U0
U1U2...
Il existe un io avec Ui=U(i+1)=U(i+2)=...
pour passer de 1 à 2 je pense qu'il faut montrer qu'il existe un système générateur mais je ne vois pas vraiment comment m'y prendre à cet exercice...
Merci d'avance de votre aide!!
J'avais mal lu, désolé !
Par exemple, pour 1 => 2 :
On passe à la dimension, on note
On a bien sûr une suite décroissante d'entiers.
On a donc pas le choix, cette suite est forcément stationnaire (l'ordre naturel sur N est bien fondé).
il existe donc j tel que pour tout p, . Conclus.
Pour 1)=>2) on a comme tu as dis Un=dim(Vn), on a une suite décroissante de sous espaces vectoriels qui devient constante avec Vj=V(j+1)=V(j+2)=... on a donc Uj=U(j+p) peut on en conclure que Un=dim(Vn)=dimk(W)?
Ce n'est pas ce que j'ai dit...
j'ai dit que la suite (Un) était stationnaire. Ce que tu dois en déduire, c'est justement que la suite (Vn) est aussi stationnaire.
Bon en fait je ne sais pas à quel mot allemand correspond le mot stationnaire...du coup je ne sais pas ce que ca veut dire...
Merci!entre temps j'ai découvert =), je continuerais l'exercice demain ou durant le week end, j'essaye d'avancer en analyse
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