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Discriminant complexe

Posté par
beniben 20-09-09 à 17:03

Bonjour je reprend les math apres 5 ans sans rien et j ai quelques difficultés.

il y a un point que je ne comprend pas dans un exo...
on a une equation a resoudre: z²-5z+7-i = 0
on calcule le discriminant b²-4ac = 25-28+4i = -3+4i
c est la que je comprent plus tout je crois.
on a (-3+4i) qui est un nombre complexe de la forme z = a+ib.
z² = -3+4i et z² = (a+ib)² = a²+2.a.ib+i²b² = a²-b²+i(2ab)
par identification: a²-b² = -3
                 et 2ab = 4
la jpense comprendre a part si jme trompe..
apres on cherche a²+b² et on arrive a a²+b² = (9+16) = 5
cest la que je comprend pas apres la suite de l exo c est bon c est juste le a²+b²=5 que je comprend pas, je me suis trompé quelque part?. je comprend le a²-b²=-3 mais comment et pkoi a²+b² = 5??

Voila c est peut etre tout bete mais je comprend pas. Merci

Posté par
romure : Discriminant complexe 20-09-09 à 17:30

Salut,

tu as

a^2+b^2=|z|^2=|z^2|=|-3+4i|=\sqrt{9+16}=5.

Posté par
benibenre : Discriminant complexe 20-09-09 à 18:07

ok
mais je comprend pas le passage de |-3+4i|=(9+16).
Desolé si c est stupide

Posté par
romure : Discriminant complexe 20-09-09 à 18:16

C'est la définition du module d'un nombre complexe:

|u+iv|=\sqrt{u^2+v^2} où u,v\in \mathbb{R}.

Posté par
benibenre : Discriminant complexe 20-09-09 à 18:18

parceque si je fais |-3+4i|=[(-3)²+(4i)²]=[9+i²16]=(9-16) ; et pas |-3+4i|=(9+16)

Posté par
benibenre : Discriminant complexe 20-09-09 à 18:20

ha oki merci , j avais du loupé cette propriété !! parceque j avais essayé de faire sans a²+b²=5 mais ça devient compliqué. en tout cas merci

Posté par
romure : Discriminant complexe 20-09-09 à 21:05

Citation :
|-3+4i|=\sqrt{(-3)^2+(4i)^2}


C'est faux en fait, en général on a pas |u+iv|=u^2+(iv)^2.

Tu dois sûrement connaître la propriété |Z|=Z\overline{Z}. Si la forme algébrique de Z est Z=u+iv,\ u,v\in \mathbb{R}, cette propriété nous donne:

|u+iv|=(u+iv)(u-iv)=u^2+v^2.


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